Activiteˊ : x↦x+a\text{Activité : } x\mapsto \sqrt{x+a}

#1bacsef

Sommaire

On considère les fonctions ff et gg définies par : f(x)=x+2f(x)=\sqrt{x+2} et g(x)=xg(x)=\sqrt{x}

et (Cf)(C_f) et (Cg)(C_g) les courbes représentatives respectives de ff et gg dans un repère orthonormé (O,i⃗,j⃗)(O,\vec{i},\vec{j})

Partie 1

  1. Déterminer l’ensemble de définition de ff et gg

  2. Etudier les variations de ff et gg

  3. Recopie et compléter les tableaux suivants:

    xx 0 14\dfrac{1}{4} 1 2 4 9
    g(x)g(x)
    xx −2-2 −1-1 00 22 77
    f(x)f(x)

  4. En s’aidant des résultats de ces deux tableaux, représenter (Cg)(C_g) et (Cf)(C_f) dans le même repère.

Partie 2

Soit x∈[−2,+∞[x\in[-2,+\infty[, considèrons les deux points M(x+2,g(x+2))M(x+2,g(x+2)) et M′(x,f(x))M'(x,f(x))

  1. Montrer que MM′→=−2i⃗\overrightarrow{MM'}=-2\vec{i}
  2. En déduire que la courbe (Cf)(C_f) est l’image de la courbe (Cg)(C_g) par la translation de vecteur −2i⃗-2\vec{i}

Partie 1

  1. Df=[−2,+∞[D_f=[-2,+\infty[ et Dg=[0,+∞[D_g=[0,+\infty[

    • les variations de ff :

    Soient x,y∈Dfx,y\in D_f avec x≠yx\ne y

    Tf(x,y)=f(x)−f(y)x−y=x+2−y+2x−y=x+22−y+22(x−y)(x+2+y+2)=1x+2+y+2\begin{align*} T_f(x,y)&=\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}\\ &=\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{y+2}}{x-y} \\ &=\frac{\sqrt{x+2}^2-\sqrt{y+2}^2}{(x-y)(\sqrt{x+2}+\sqrt{y+2})} \\ &=\frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{y+2}} \end{align*}

    On a Tf(x,y)>0T_f(x,y)>0 pour tout x,y∈Dfx,y\in D_f

    Donc ff est strictement croissante sur [−2,+∞[[-2,+\infty[

    • les variations de gg

    De la même manière :

    Soient x,y∈Dgx,y\in D_g avec x≠yx\ne y

    Tg(x,y)=g(x)−g(y)x−y=1x+y\begin{align*} T_g(x,y)&=\dfrac{g(x)-g(y)}{x-y}\\&=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} \end{align*}

    On a Tg(x,y)>0T_g(x,y)>0 pour tout x,y∈Dgx,y\in D_g

    Donc gg est strictement croissante sur [0,+∞[[0,+\infty[

xx 00 14\frac{1}{4} 11 22 44 99
g(x)g(x) 00 12\frac{1}{2} 11 2\sqrt2 22 33
xx −2-2 −1-1 00 22 77
f(x)f(x) 00 11 2\sqrt2 22 33
  1. (Cg)(C_g) et (Cf)(C_f)
(Cf)(Cg)×1×114×0,54×29×3×−1×2×7×

Partie 2

Let x∈[−2,+∞[x \in [-2, +\infty[ and let M(x+2,g(x+2))M(x+2, g(x+2)) and M′(x,f(x))M'(x, f(x)).

  1. Montrer que MM′→=−2i⃗\overrightarrow{MM'} = -2\vec{i}
MM′→=(xM′−xM; yM′−yM)MM′→=(x−(x+2); f(x)−g(x+2))MM′→=(−2; x+2−x+2)MM′→=(−2; 0)MM′→=−2i⃗\begin{align*} \overrightarrow{MM'} &= (x_{M'} - x_M;\ y_{M'} - y_M) \\ \overrightarrow{MM'} &= (x - (x+2);\ f(x) - g(x+2)) \\ \overrightarrow{MM'} &= (-2;\ \sqrt{x+2} - \sqrt{x+2}) \\ \overrightarrow{MM'} &= (-2;\ 0) \\ \overrightarrow{MM'} &= -2\vec{i} \end{align*}

  1. (Cf)(C_f) est l’image de (Cg)(C_g) par la translation de vecteur −2i⃗-2\vec{i}

    On a : MM′→=−2i⃗\overrightarrow{MM'} = -2\vec{i} donc M′M' est l’image du point MM par la translation de vecteur −2i⃗-2\vec{i}.

    Et comme M′∈(Cf)M' \in (C_f) et M∈(Cg)M \in (C_g) pour tout x∈[−2,+∞[x \in [-2, +\infty[,

    alors la courbe (Cf)(C_f) est l’image de la courbe (Cg)(C_g) par la translation de vecteur −2i⃗-2\vec{i}.