Composée de deux fonctions

#1bacsef

Sommaire

1) Définition

Soit f:I→Rf:I\to \R et g:J→Rg:J\to \R deux fonctions numériques

Considèrons la fonction h:I→Rh:I \to \R définie par : h(x)=g(f(x))h(x)=g(f(x))

Pour que hh soit bien définie il faut que : f(I)⊂Jf(I)\subset J

et dans ce cas la fonction hh est appelée composée des fonctions ff et gg dans cet ordre.

elle est notée g∘fg\circ f (se lit : gg rond ff)

fgxf(x)g(f(x))g◦f

Application 1

Soit ff et gg deux fonctions définies par : f(x)=1xf(x)=\dfrac1x et g(x)=2x+1x−2g(x)=\dfrac{2x+1}{x-2}

  1. Déterminer Dg∘fD_{g\circ f} l’enesemble de définition de la fonction g∘fg \circ f
  2. Déterminer g∘f(x)g\circ f (x) pour tout x∈Dg∘fx\in D_{g\circ f}

Correction

  1. Df=R∗D_f=\R^* et Dg=R−{2}D_g=\R-\left\{2\right\}

    Soit x∈Rx\in\R

    x∈Dg∘f  ⟺  x∈Df  et  f(x)∈Dg  ⟺  x≠0  et  f(x)≠2\begin{align*} x\in D_{g\circ f} &\iff x\in D_f~~\text{et}~~f(x)\in D_g \\ &\iff x\ne0 ~~\text{et}~~ f(x)\ne2 \end{align*}

    or :

    f(x)=2  ⟺  1x=2  ⟺  x=12\begin{align*} f(x)=2 &\iff \frac{1}{x}=2 \\ &\iff x=\frac{1}{2} \end{align*}
    x∈Dg∘f  ⟺  x≠0  et  x≠12x\in D_{g\circ f} \iff x\ne0 ~~et~~ x\ne\frac{1}{2}
    Dg∘f=R−{0,12}D_{g\circ f}=\R-\left\{0,\frac12\right\}

  2. Soit x∈Dg∘fx\in D_{g\circ f} on a :

    (g∘f)(x)=g(f(x))=2f(x)+1f(x)−2=21x+11x−2=x+21−2x\begin{align*} (g\circ f)(x)&=g(f(x)) \\ &= \frac{2f(x)+1}{f(x)-2} \\ &= \frac{2\frac1x +1}{\frac1x -2} \\ &= \frac{x +2}{1-2x} \end{align*}

    Donc (∀x∈R−{0,12})\left(\forall x\in\R- \left\{0,\frac12\right\}\right)

    (g∘f)(x)=x+21−2x(g\circ f)(x)=\dfrac{x +2}{1-2x}

2) Monotonie

Propriété

Soient ff une fonction définie sur un ensemble II et gg définie sur un ensemble JJ telles que pour tout f(I)⊂Jf(I)\subset J

Le tableau ci-dessous donne les variations de g∘fg\circ f :

gg croissante gg décroissante
ff croissante g∘fg \circ f croissante g∘fg \circ f décroissante
ff décroissante g∘fg \circ f décroissante g∘fg \circ f croissante

Application 2

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=x2+1f(x) = \sqrt{x^2 + 1}.

Étudier la monotonie de la fonction ff en utilisant la propriété de la composée de deux fonctions.

On peut décomposer la fonction hh de la facon suivante :

uvxx2+1x2+1 v±u

avec : ∀x≥0 ; v(x)=x\forall x\ge0~;~v(x)=\sqrt{x} et ∀x∈R ; u(x)=x2+1\forall x\in\R~;~u(x)=x^2+1

(v∘u)(x)=v(u(x))=u(x)=x2+1=f(x)(v\circ u)(x)=v(u(x))=\sqrt{u(x)}=\sqrt{x^2+1}=f(x)

Soit x∈Rx\in\R on a : x2+1>0x^2+1>0 donc f(R)⊂R+f(\R) \subset \R^+

  • Sur l’intervalle [0;+∞[[0;+\infty[

    La fonction uu est strictement croissante sur [0;+∞[[0;+\infty[

    et la fonction vv est strictement croissante sur [0;+∞[[0;+\infty[

    donc la fonction f=v∘uf=v\circ u est strictement croissante sur [0;∞[[0;\infty[

  • Sur l’intervalle ]−∞,0]]-\infty,0]

    la fonction uu est strictement décroissante sur ]−∞,0]]-\infty,0]

    et la fonction vv est strictement croissante sur [0;+∞[[0;+\infty[

    donc la fonction f=v∘uf=v\circ u est strictement décroissante sur ]−∞,0]]-\infty,0]