Image d'un intervalle par une fonction

Sommaire

Définition

Soit $f$ une fonction numérique et $D_f$ son ensemble de définition.

Soit $I$ un intervalle inclu dans $D_f$

L’ensemble formé des éléments $f(x)$ quand $x$ décrit l’intervalle $I$ , est appelé l’image de l’intervalle $I$ par la fonction $f$ et noté $f(I)$

Remarque

f(I)\subset J \iff (\forall x\in I) ~:~f(x)\in J

Application

On donne ci-dessous la courbe d’une fonction $f$ définie sur $[-2,+\infty[$ .

Déterminer graphiquement :

$f([-2,-1])$	$f([-1,1])$
$f([-1,3])$	$f(]1,4])$
$f([0,1[)$	$f([3,+\infty[)$

Correction

Pour $f([-2,-1])$

Graphiquement $x$ décrit l’intervalle $[-2,-1]$ équivaut à $f(x)$ décrit $[0,1]$ ,\alors : $f([-2,-1])=[0,1]$
Pour $f([-1,1])$

$x$ décrit l’intervalle $[-1,1]$ équivaut à $f(x)$ décrit $[-1,1]$ ,alors :
$f([-1,1])=[-1,1]$
Pour $f([-1,3])$

$x$ décrit l’intervalle $[-1,3]$ équivaut à $f(x)$ décrit $[-1,1]$ ,alors :
$f([-1,3])=[-1,1]$
Pour $f(]1,4])$

$x$ décrit l’intervalle $]1,4]$ équivaut à $f(x)$ décrit $]-1,1]$ ,alors :
$f(]1,4])=]-1,1]$
Pour $f([0,1[)$

$x$ décrit l’intervalle $[0,1[$ équivaut à $f(x)$ décrit $]-1,0]$ ,alors :
$f([0,1[)=]-1,0]$
Pour $f([3,+\infty[)$

$x$ décrit l’intervalle $[3,+\infty[$ équivaut à $f(x)$ décrit $]-\infty,1]$ ,alors :
$f([3,+\infty[)=]-\infty,1]$