Variations d’une fonction

#1bacsef

Sommaire

Définition et rappel

Soit ff une fonction définie sur un intervalle II.

On dit que

  • ff est croissante sur II si pour tous réels a,b∈Ia,b\in I avec a<ba < b on a :
f(a)≤f(b)f (a) \leq f (b)
O⃗i⃗jx1f(x1)x2f(x2)
  • ff est décroissante sur II si pour tous réels a,b∈Ia,b\in I avec a<ba < b on a
f(a)≥f(b)f (a) \geq f (b)
O⃗i⃗jx2f(x2)x1f(x1)
  • ff est constante sur II si pour tous réels a,b∈Da,b\in D avec a<ba < b on a f(a)=f(b)f(a)=f(b)
O⃗i⃗jx2f(x1)=f(x2)x1

  • ff est monotone sur II si ff ne change pas de sens de variation sur II

    c’est à dire ff croissante ou bien décroissante sur II

Remarque

On obtient les définitions de strictement croissante ou strictement décroissante en remplaçant les inégalités larges par des inégalités strictes.

Propriété

Soit f:I↦Rf:I\mapsto \R une fonction, on pose T(x,y)=f(x)−f(y)x−yT(x,y)=\frac{f(x)-f(y)}{x-y} ; x≠yx\ne y et x,y∈Ix,y\in I

  • Si (∀x,y∈I) ; T(x,y)≥0(\forall x,y\in I)~;~T(x,y)\ge0 alors ff est croissante sur II
  • Si (∀x,y∈I) ; T(x,y)≤0(\forall x,y\in I)~;~T(x,y)\le0 alors ff est décroissante sur II
  • Si (∀x,y∈I) ; T(x,y)=0(\forall x,y\in I)~;~T(x,y)=0 alors ff est constante sur II

Exemples

  • La fonction racine carrée {[0,+∞[⟶Rx⟼x\begin{cases} [0,+\infty[ \longrightarrow \R \\ x\longmapsto \sqrt x \end{cases} est strictement croissante.
  • La fonction valeur absolue {R⟶Rx⟼∣x∣\begin{cases} \R \longrightarrow \R \\ x\longmapsto |x| \end{cases} n’est ni croissante, ni décroissante.
  • La fonction {[0,+∞[⟶Rx⟼∣x∣\begin{cases} [0,+\infty[ \longrightarrow \R \\ x\longmapsto |x| \end{cases} est strictement croissante.
  • La fonction {R∗⟶Rx⟼1x\begin{cases} \R^* \longrightarrow \R \\ x\longmapsto \dfrac1x \end{cases} est strictement décroissante.

Exemple

la courbe (Cf)(C_f) d’une fonction ff sur [−5,7][-5,7]

O⃗i⃗j−4−3−2−123456−2−1234
  • Cette fonction est décroissante sur [−5;−3][-5;-3], croissante sur [−3;2][-3;2], décroissante sur [2;5][2;5], puis croissante sur [5;7][5;7].
  • Ou encore : ff est croissante sur [−3;2][-3;2] et sur [5;7][5;7], décroissante sur [−5;−3][-5;-3] et sur [2;5][2;5].

Le tableau de variations de la fonction ff est :

−5−3257xf(x)4−14−20

Variations des fonctions f+λf+\lambda et λ.f\lambda.f

Propriété

Soit ff une fonction définie et monotone sur un intervalle II et λ\lambda un réel.

  • Les fonctions ff et f+λf + \lambda ont même sens de variation sur II.
  • Si λ>0\lambda >0, alors la fonction λf\lambda f a les mêmes variations que ff sur II
  • Si λ<0\lambda<0, alors ff et λf\lambda f ont des sens de variations contraires sur II

Exemples

La fonction x↦xx\mapsto \sqrt x est strictement croissante sur [0,+∞[[0,+\infty[ et donc :

  • La fonction f:x↦x−3f:x\mapsto \sqrt x -3 est strictement croissante sur [0,+∞[[0,+\infty[

  • La fonction g:x↦−2xg:x\mapsto -2\sqrt x est strictement décroissante sur [0,+∞[[0,+\infty[

  • La fonction h:x↦−2x+6h:x\mapsto -2\sqrt x+6 est strictement décroissante sur [0,+∞[[0,+\infty[

    en effet h(x)=−2(x−3)=−2g(x)h(x)=-2(\sqrt x -3)=-2g(x)