Fonctions majorées, minorées, bornées

#1bacsef

Sommaire

Définition

Soit f:D→Rf:D\to \R une fonction. On dit que :

  • ff est majorée sur DD si ∃M∈R  ∀x∈D f(x)≤M\exists M\in\R \ \ \forall x\in D \ f(x)\leq M ;
  • ff est minorée sur DD si ∃m∈R  ∀x∈U f(x)≥m\exists m\in\R \ \ \forall x\in U \ f(x)\geq m ;
  • ff est bornée sur DD si ff est à la fois majorée et minorée sur DD,

Voici le graphe d’une fonction bornée (minorée par mm et majorée par MM).

xyMm

Application

Soit ff la fonction définie par : f(x)=x−3x+1f(x)=\dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt x +1}

  1. Déterminer DfD_f l’ensemble de définition de ff
  2. Montrer que ff est majorée par 1 et minorée par −3-3

  1. Df={x∈R ; x≥0 et x+1≠0}D_f=\left\{x\in\R~;~x\ge0 ~et~\sqrt{x}+1\ne0\right\}

    Si x+1=0\sqrt{x}+1=0 alors x=−1\sqrt x=-1 absurde

    Alors : Df=[0;+∞[D_f=[0;+\infty[

    • Montrons que ff est majorée par 1

      Soit x∈[0;+∞[x\in[0;+\infty[ :

      on a

      f(x)−1=x−3x+1−1=x−3−x−1x+1=−4x+1<0\begin{align*} f(x)-1&=\dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt x +1}-1\\&=\dfrac{\sqrt{x}-3-\sqrt x -1}{\sqrt x +1}\\&=\dfrac{-4}{\sqrt x +1} < 0 \end{align*}

      car x+1>0\sqrt x +1 > 0

      Donc : (∀x≥0) : f(x)−1<0  ⟹  (∀x≥0) : f(x)<1(\forall x\ge0)~:~f(x)-1<0 \implies (\forall x\ge0)~:~f(x)<1

      et par suite : ff est majorée par 1

    • Montrons que ff est minorée par −3-3

      Soit x∈[0;+∞[x\in[0;+\infty[ :

      on a

      f(x)−(−3)=x−3x+1+3=x−3+3x+3x+1=4xx+1≥0\begin{align*} f(x)-(-3) &=\dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt x +1}+3\\ &=\dfrac{\sqrt{x}-3+3\sqrt x +3}{\sqrt x +1}\\ &=\dfrac{4\sqrt{x}}{\sqrt x +1} \ge 0 \end{align*}

      Donc : (∀x≥0) : f(x)+3≥0  ⟹  (∀x≥0) : f(x)≥−3(\forall x\ge0)~:~f(x)+3\ge0 \implies (\forall x\ge0)~:~f(x)\ge-3

      et par suite : ff est minorée par −3-3

    • puisque ff et majorée et minoeée,

      alors ff est bornée et on a :

      (∀x≥0) ; −3≤f(x)≤1(\forall x\ge0)~;~-3\le f(x)\le1

Propriété

Soit f:I→Rf:I\to \R une fonction.

f est borneˊe sur If~ \text{est bornée sur }I   ⟺   ∃M∈R ∀x∈I  ∣f(x)∣≤M\iff\ \exists M\in\R \ \forall x\in I \ \ |f(x)|\leq M

Exemple

Pour l’application précédente, on a montré que :

∀x≥0,−3≤f(x)≤1\forall x \ge 0, \quad -3 \le f(x) \le 1

Et puisque 1<31 < 3, alors :

∀x≥0,−3≤f(x)≤3\forall x \ge 0, \quad -3 \le f(x) \le 3

C’est-à-dire :

∀x≥0,∣f(x)∣≤3\forall x \ge 0, \quad |f(x)| \le 3