Comparaisons de fonctions

#1bacsef

Sommaire

Comparer deux fonctions f et g c’est déterminer si $f(x) = g(x)$ pour tout $x$ et, sinon, sur quel(s) intervalle(s) on a $f(x) > g(x)$ et $f(x) < g(x)$ .

Définition

Soit $f$ et $g$ deux fonctions. On dit que $f$ et $g$ sont égales si
- $f$ et $g$ ont même ensemble de définition $D$
- pour tout $x\in D$ on a : $f(x) = g(x)$ .
On note alors $f = g$

Graphiquement : les courbes $(C_f)$ et $(C_g)$ sont confondues sur $D$
$f$ et $g$ deux fonctions définies sur un intervalle $I$ .

On dit que deux $f$ est inférieure ou égale à $g$ sur $I$ , et on note $f\leq g$ si : $\forall x \in I \ \ f(x)\leq g(x)$

Remarques

$f<g$ sur $I$ si et seulement si $\forall x\in I ~;~f(x) < g(x)$ , et cela veut dire que $(C_f)$ est en dessous de $(C_g)$ sur $I$
$f \geq 0$ sur $I$ si et seulement si $\forall x\in I ~;~f(x) \geq 0$ , et cela veut dire que $(C_f)$ est au-dessus ou sur l’axe des abscisses sur $I$

Application

Soit $f$ la fonction numérique définie par : $f(x)=\dfrac{x^3}{x^2+1}$ et $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$

Comparer la fonction $f$ et la fonction $g$ définie par : $g(x)=\dfrac{x^2}{x^2+1}$
Etudier la position relative de la droite $(\Delta) : y=x$ et la courbe $(C_f)$

Correction

il est claire que les deux fonctions $f$ et $g$ sont définies sur $\R$ car : $\forall x\in\R ~;~x^2+1\ne0$

Soit $x\in\R$ on a :

$f(x)-g(x)=\dfrac{x^3-x^2}{x^2+1}=\dfrac{x^2(x-1)}{x^2+1}$

or $\forall x\in\R~;~\dfrac{x^2}{x^2+1}\ge0$ , donc $f(x)-g(x)$ a m $\hat{e}$ me signe que $x-1$

$f(x)-g(x)=0 \iff x^2(x-1) \iff x=0 ~ou~x=1$
- les courbes $(C_f)$ et $(C_g)$ se coupent en deux points $O(0,0)$ et $A(1,\frac12)$
- Si $x>1$ alors $f(x)-g(x) > 0$ et donc $\forall x>1 ~;~f(x)> g(x)$
  
  graphiquement : La courbe $(C_f)$ et au dessus de la courbe $(C_g)$ sur l’intervalle $]1;+\infty[$
- Si $x<1$ alors $f(x)-g(x) < 0$ et donc $\forall x<1 ~;~f(x)<g(x)$
  
  graphiquement : La courbe $(C_f)$ et au dessous de la courbe $(C_g)$ sur l’intervalle $]-\infty;1[$
étudions la position relative de $(C_f)$ et $(\Delta)$

Soit $x\in\R$ on a : $f(x)-x=\dfrac{x^2}{x^2+1}-x=\dfrac{x^3-x^3-x}{x^2+1}=\dfrac{-x}{x^2+1}$

$f(x)-(x)=0 \iff -x=0 \iff x=0$

or $\forall x\in\R~;~x^2+1>0$ donc :
- la courbe $(C_f)$ et la droite $(\Delta)$ se coupent en un point $O(0,0)$ .
- Si $x<0$ alors $f(x)-(x) > 0$ et donc $\forall x<0 ~;~f(x) > x$
  
  graphiquement : La courbe $(C_f)$ et au dessus de la droite $(\Delta)$ sur l’intervalle $]-\infty;0[$
- Si $x>0$ alors $f(x)-(x) < 0$ et donc $\forall x>0 ~;~f(x)<x$
  
  graphiquement : La courbe $(C_f)$ et au dessous de la droite $(\Delta)$ sur l’intervalle $]0;+\infty[$
On a tracé ce graphe par un ordinateur :