Parité et Périodicité

#1bacsef

Sommaire

Soit ff une fonction définie sur un ensemble DD

1) Parité

Définition

  • ff est dite paire si :
    ∀x∈D : −x∈D  et  f(−x)=f(x)\forall x\in D~:~-x\in D~\text{ et }~f(-x)=f(x)
  • ff est dite impaire si :
    ∀x∈D : −x∈D  et  f(−x)=−f(x)\forall x\in D~:~-x\in D~\text{ et }~f(-x)=-f(x)

Propriété

Dans un repère orthogonal

  • La courbe représentative d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées
  • La courbe représentative d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine du repère.

Exemples

  • Les fonctions : x↦x2x\mapsto x^2 , x↦cos⁡xx\mapsto \cos x et x↦∣x∣x\mapsto |x| définies sur R\R sont paires
  • Les fonctions : x↦x3x\mapsto x^3 et x↦sin⁡xx\mapsto \sin x définies sur R\R et la fonction x↦1xx\mapsto \frac1x définie sur R∗\R^* sont impaires
O⃗i⃗jlafonction:x↦x2
O⃗i⃗jlafonction:x↦|x|
O⃗i⃗jlafonction:x↦1x
O⃗i⃗jlafonction:x↦cosx
O⃗i⃗jlafonction:x↦sinx

Pour la fonction x↦x3x\mapsto x^3, voir la derinier partie de ce cours.

2) Périodicité

Définition

  • On dit que ff est périodique s’il existe un réel t≠0t\ne0 tel que :

    • ∀x∈D : x+t∈D\forall x\in D~:~x+t\in D
    • ∀x∈D : f(x+t)=f(x)\forall x\in D~:~f(x+t)=f(x)

  • On appelle période TT de ff le plus petit des réels tt positif.

xx+T⃗if

Exemples

  • Les fonctions sinus et cosinus sont 2π2\pi-périodiques car pour tout x∈Rx\in\R on a :

    • (x+2π)∈R(x+2\pi)\in\R
    • cos(x+2π)=cos⁡(x)cos(x+2\pi)=\cos(x) et sin⁡(x+2π)=sin⁡(x)\sin(x+2\pi)=\sin(x)

  • La fonction tangente est π\pi-périodique.

Propriété

Si ff est une fonction TT-périodique alors :

(∀x∈D) (∀k∈Z) ; f(x+kT)=f(x)(\forall x\in D)~(\forall k\in\Z)~;~f(x+kT)=f(x)

Application

Partie 1 : Soit ff une fonction vérifiant les conditions suivantes :

ff est périodique de période 22 et ∀x∈[−1;1[ : f(x)=2x−1\forall x\in[-1;1[~:~f(x)=2x-1

  1. Calculer f(−1)f(-1), f(0)f(0) et f(12)f\left(\dfrac12\right)
  2. Calculer f(1)f(1), f(2)f(2) et f(2022)f(2022)

Partie 2 :

Reproduire la figure ci-dessous et compléter la représentation graphique de gg sur l’intervalle [−4,4][-4,4] tel que gg est 2-périodique.

O~i~j

Partie 1 :

  1. Calcul des valeurs de f(−1)f(-1), f(0)f(0), et f(12)f\left(\frac{1}{2}\right)

La fonction ff est périodique de période 2, ce qui signifie que pour tout xx, f(x+2)=f(x)f(x+2) = f(x).

De plus, on sait que pour tout x∈[−1;1[x \in [-1;1[, f(x)=2x−1f(x) = 2x - 1.

  • f(−1)f(-1) : −1∈[−1;1[-1 \in [-1;1[, donc f(−1)=2(−1)−1=−2−1=−3f(-1) = 2(-1) - 1 = -2 - 1 = -3.

  • f(0)f(0) : 0∈[−1;1[0 \in [-1;1[, donc f(0)=2(0)−1=0−1=−1f(0) = 2(0) - 1 = 0 - 1 = -1.

  • f(12)f\left(\frac{1}{2}\right) : 12∈[−1;1[\frac{1}{2} \in [-1;1[, donc f(12)=2(12)−1=1−1=0f\left(\frac{1}{2}\right) = 2\left(\frac{1}{2}\right) - 1 = 1 - 1 = 0.

  1. Calcul des valeurs de f(1)f(1), f(2)f(2), et f(2022)f(2022)

Pour ces points, on peut utiliser la proprité :

∀x∈[−1;1[,∀k∈Z  :  f(x+2k)=f(x)\forall x\in[-1;1[,\forall k\in\Z~~:~~f(x+2k)=f(x)

  • f(1)f(1) :

    1∉[−1;1[1 \notin [-1;1[, mais pour k=−1k=-1 et x=−1x=-1:

    f(1)=f(−1+2)=f(−1)=−3f(1)=f(-1+2) = f(-1) = -3

  • f(2)f(2) :

    2∉[−1;1[2 \notin [-1;1[, pour x=0x=0 et k=1k=1 :

    f(2)=f(0+2)=f(0)=−1f(2) = f(0 + 2) = f(0) = -1

  • f(2022)f(2022) :

    2022≡0[2]2022 \equiv 0 [2]

    Donc f(2022)=f(0)=−1f(2022) = f(0) = -1.

Partie 2 :

O~i~j

Remarque

Si ff est une fonction d’ensemble de définition DD et de période TT, alors : il suffit d’étudier ses variations sur tout intervalle d’amplitude TT et inclus dans DD

([0,T]∩D  ou  [−T2;T2]∩D)\left([0,T]\cap D~~ ou~~ \left[-\frac T2;\frac T2\right]\cap D \right)