Généralités sur les fonctions

#1bacsef

Sommaire

Activités de rappel

Activité 1

Soit ff la fonction définie par : f(x)=2x+1x−1f(x)=\frac{2x+1}{x-1} et (Cf)(C_f) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,i⃗,j⃗)(O,\vec{i},\vec{j})

  1. Montrer que pour tout x≠1x\ne1 on a : f(x)=2+3x−1f(x)=2+\frac{3}{x-1}
  2. Montrer que (Cf)(C_f) est l’image de l’hyperbole (H)(H) d’équation y=3xy=\frac{3}{x} par une translation dont on précisera le vecteur
  3. Tracer dans le meme repère la courbe (Cf)(C_f) et (H)(H)
  4. Construre la courbe représentative de la fonction définie par : h(x)=2x+1x+1h(x)=\frac{2x+1}{x+1}

  1. Décomposition de la fonction ff

    On a :

    f(x)=2x+1x−1=2(x−1)+2+1x−1=2(x−1)x−1+3x−1=2+3x−1\begin{align*} f(x) &= \frac{2x+1}{x-1} \\&= \frac{2(x-1) + 2 + 1}{x-1} \\&= \frac{2(x-1)}{x-1} + \frac{3}{x-1} \\&= 2 + \frac{3}{x-1} \end{align*}

  1. Interprétation géométrique

    Posons X=x−1X=x-1 et Y=y−2Y=y-2

    Donc OM′→=OM→+u⃗\overrightarrow{OM'}=\overrightarrow{OM}+\vec{u}

    avec M′(x,y)∈(Cf)M'(x,y)\in(C_f) et M(X,Y)∈(H)M(X,Y)\in(H) et u⃗(1,2)\vec{u}(1,2)

    et donc M′M' est l’image du point MM par la translation de vecteur u⃗(1,2)\vec{u}(1,2)

    et comme M′∈(Cf)M'\in(C_f) et M∈(H)M\in(H) donc (Cf)(C_f) est l’image de l’hyperbole (H)(H) par la translation de vecteur u⃗(1,2)\vec{u}(1,2)

  1. Représentation graphique

    Hyperbole (H)(H) et sa transformée (Cf)(C_f) :

    O⃗i⃗j(H)(Cf)

  1. Étude de la fonction h(x)h(x)

    Soit :

    h(x)=2x+1x+1h(x) = \frac{2x + 1}{x + 1}

    On a :

    h(x)−ac=2x+1x+1−2=2x+1−2(x+1)x+1=−1x+1h(x) - \frac{a}{c} = \frac{2x + 1}{x + 1} - 2 = \frac{2x + 1 - 2(x + 1)}{x + 1} = \frac{-1}{x + 1}

    Donc :

    h(x)=2+−1x+1h(x) = 2 + \frac{-1}{x + 1}

    Comme k=−1k = -1, la fonction hh est strictement décroissante sur R∖{−1}\mathbb{R} \setminus \{-1\}.

    La courbe (Ch)(C_h) est l’image de l’hyperbole d’équation y=−1xy = \frac{-1}{x} par la translation de vecteur u⃗(−1,2)\vec{u}(-1, 2).

  1. Deuxième représentation graphique

    Hyperbole (H)(H) et sa transformée (Ch)(C_h) :

    O⃗i⃗j(H)(Cf)

Activité 2

Soit ff la fonction définie par : f(x)=x2−6x+5f(x)=x^2-6x+5 et (Cf)(C_f) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,i⃗,j⃗)(O,\vec{i},\vec{j})

  1. Vérifie que pour tout x∈Rx\in\R : f(x)=(x−3)2−4f(x)=(x-3)^2-4
  2. Montrer que la courbe (Cf)(C_f) est l’image de la parbole (P)(P) d’équation y=x2y=x^2 par une translation dont on précisera le vecteur
  3. Tracer dans le meme repère la courbe (Cf)(C_f) et la paraabole (P)(P)
f(x)=x2−6x+5=(x−3)2−32+5=(x−3)2−4\begin{align*} f(x)&=x^2-6x+5\\&=(x-3)^2-3^2+5\\&=(x-3)^2-4 \end{align*}

  1. On pose Y=f(x)+4Y=f(x)+4 et X=x−3X=x-3 donc Y=X2Y=X^2

    et donc OM→=OM′→+u⃗\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OM'}+\vec{u} et u⃗(3,4)\vec{u}(3,4)

    alors MM est l’image du point M′M' par la translation de vecteur u⃗(3,4)\vec{u}(3,4)

    et comme M∈(Cf)M\in(C_f) et M′∈(H)M'\in(H) donc (Cf)(C_f) est l’image de la prabole (P)(P) par la translation de vecteur u⃗(3,4)\vec{u}(3,4)

O⃗i⃗j(P)(Cf)