مدخل عام
مبرهنة القيم الوسيطة (Intermediate Value Theorem) هي مفهوم أساسي في التحليل الرياضي يتعلق بالدوال المتصلة على مجالات معينة. تقوم المبرهنة على فكرة أنه إذا كانت الدالة f f f f f f [ a , b ] [a,b] [ a , b ]
نص المبرهنة
ليكن a a a b b b a < b a<b a < b
لتكن f f f [ a , b ] [a,b] [ a , b ] R \mathbb{R} R
f : [ a , b ] ↦ R f: [a,b] \mapsto \mathbb{R} f : [ a , b ] ↦ R
ليكن k k k f ( a ) f(a) f ( a ) f ( b ) f(b) f ( b )
إدن يوجد عدد حقيقي c c c [ a , b ] [a,b] [ a , b ] f ( c ) = k f(c)=k f ( c ) = k
بمعنى أخر : المعادلة f ( x ) = k f(x)=k f ( x ) = k [ a , b ] [a,b] [ a , b ]
الدالة f f f [ a , b ] [a,b] [ a , b ]
العدد k k k f ( a ) f(a) f ( a ) f ( b ) f(b) f ( b )
البرهان
لتكن f f f [ a , b ] [a,b] [ a , b ] k k k f ( a ) f(a) f ( a ) f ( b ) f(b) f ( b )
نفترض أن f ( a ) < f ( b ) f(a) < f(b) f ( a ) < f ( b ) g = − f g=-f g = − f
ليكن c 1 c_1 c 1 [ a , b ] [a,b] [ a , b ]
ليكن c 2 c_2 c 2 [ a 1 , b 1 ] [a_1,b_1] [ a 1 , b 1 ]
وهكدا ننشيئ بالترجع سلسلة من القطع المتذاخلة :
[ a n , b n ] ⊂ [ a n − 1 , b n − 1 ] ⊂ . . . . . ⊂ [ a 2 , b 2 ] ⊂ [ a 1 , b 1 ] ⊂ [ a , b ] [a_n,b_n]\subset [a_{n-1},b_{n-1}] \subset ..... \subset [a_2,b_2] \subset [a_1,b_1] \subset [a,b] [ a n , b n ] ⊂ [ a n − 1 , b n − 1 ] ⊂ ..... ⊂ [ a 2 , b 2 ] ⊂ [ a 1 , b 1 ] ⊂ [ a , b ]
إدن عن طريق الإنشاء لدينا طول القطعة [ a n , b n ] [a_n,b_n] [ a n , b n ] b − a 2 n \dfrac{b-a}{2^n} 2 n b − a
إدن أطوال القطع [ a n , b n ] [a_n,b_n] [ a n , b n ] 0 0 0 n n n + ∞ +\infty + ∞
المتتاليتان ( a n ) n (a_n)_n ( a n ) n ( b n ) n (b_n)_n ( b n ) n l l l
لدينا لكل n n n N \mathbb{N} N f ( a n ) ≤ k ≤ f ( b n ) \ \ \ \ \ \ f(a_n) \le k \le f(b_n) f ( a n ) ≤ k ≤ f ( b n )
ومنه : lim n → + ∞ f ( a n ) ≤ k ≤ lim n → + ∞ f ( b n ) \ \ \ \ \ \ \lim\limits_{n\to+\infty} f(a_n) \le k \le \lim\limits_{n\to+\infty} f(b_n) n → + ∞ lim f ( a n ) ≤ k ≤ n → + ∞ lim f ( b n )
وبما أن f f f f ( l ) ≤ k ≤ f ( l ) f(l) \le k \le f(l) f ( l ) ≤ k ≤ f ( l )
وبالتالي : f ( l ) = k f(l)=k f ( l ) = k
وبهدا نكون قد برهنا عن تواجد عدد l ∈ [ a , b ] l\in [a,b] l ∈ [ a , b ] f ( l ) = k f(l)=k f ( l ) = k
ملاحظة
في حالة لدينا f ( a ) × f ( b ) < 0 f(a)\times f(b) <0 f ( a ) × f ( b ) < 0
فإن العددين f ( a ) f(a) f ( a ) f ( b ) f(b) f ( b ) f ( a ) f(a) f ( a ) f ( b ) f(b) f ( b )
نستنتج أن : المعادلة f ( x ) = 0 f(x)=0 f ( x ) = 0 [ a , b ] [a,b] [ a , b ]
الدالة f f f [ a , b ] [a,b] [ a , b ]
f ( a ) × f ( b ) < 0 f(a)\times f(b) <0 f ( a ) × f ( b ) < 0
المبرهنة لا تطبق على مجالات من نوع : [ a , b [ [a,b[ [ a , b [ ] a , b ] ]a,b] ] a , b ] ] a , b [ ]a,b[ ] a , b [
مثال : دالة الجزء الصحيح التي يرمز لها ب E E E [ 0 , 1 [ [0,1[ [ 0 , 1 [
لدينا : E ( 0 ) = 0 E(0)=0 E ( 0 ) = 0 E ( 1 ) = 1 E(1)=1 E ( 1 ) = 1
ولدينا العدد k = 1 2 k=\dfrac{1}{2} k = 2 1 E ( 0 ) E(0) E ( 0 ) E ( 1 ) E(1) E ( 1 )
ومع دالك لايوجد أي عدد c ينتمي الى المجال [ 0 , 1 [ [0,1[ [ 0 , 1 [ E ( c ) = 1 2 E(c)=\dfrac{1}{2} E ( c ) = 2 1
نتيجة
صورة مجال بدالة متصلة عبارة عن مجال
برهان
لتكن f f f I I I
لنبين أن f ( I ) f(I) f ( I )
ليكن y 1 y_1 y 1 y 2 y_2 y 2 f ( I ) f(I) f ( I ) y 1 ≤ y 2 y_1 \le y_2 y 1 ≤ y 2
لكي نبين أن f ( I ) f(I) f ( I ) ∀ k ∈ [ y 1 , y 2 ] : k ∈ f ( I ) \forall k \in [y_1,y_2] \ : \ k\in f(I) ∀ k ∈ [ y 1 , y 2 ] : k ∈ f ( I )
بما أن y 1 y_1 y 1 y 2 y_2 y 2 f ( I ) f(I) f ( I ) x 1 x_1 x 1 x 2 x_2 x 2 I I I f ( x 1 ) = y 1 f(x_1)=y_1 f ( x 1 ) = y 1 f ( x 2 ) = y 2 f(x_2)=y_2 f ( x 2 ) = y 2
ولدينا I I I [ x 1 , x 2 ] ⊂ I [x_1 , x_2]\subset I [ x 1 , x 2 ] ⊂ I
ولدينا f f f I I I [ x 1 , x 2 ] ⊂ I [x_1 , x_2]\subset I [ x 1 , x 2 ] ⊂ I f f f [ x 1 , x 2 ] [x_1 , x_2] [ x 1 , x 2 ]
بتطبيق مبرهنة القيم الوسطية على المجال [ x 1 , x 2 ] [x_1 , x_2] [ x 1 , x 2 ]
∀ k ∈ [ y 1 , y 2 ] ∃ c ∈ [ x 1 , x 2 ] : f ( c ) = k \forall k\in[y_1, y_2] \ \exists c\in [x_1,x_2] \ : \ f(c)=k ∀ k ∈ [ y 1 , y 2 ] ∃ c ∈ [ x 1 , x 2 ] : f ( c ) = k
ومنه : k = f ( c ) ∈ f ( I ) k=f(c) \in f(I) k = f ( c ) ∈ f ( I )
وبالتالي : f ( I ) f(I) f ( I )
ملاحظة
الشرط f f f كافي لتكون صورة مجال عبارة عن مجال ولكنه ليس شرط لازم
مثال
نعتبر الدالة
f f f [ 1 , 3 ] [1,3] [ 1 , 3 ] { f ( x ) = x ; 1 ≤ x < 2 f ( x ) = − 2 x + 8 ; 2 ≤ x ≤ 3 \left\{
\begin{matrix}
f(x)=x & ; \ 1\le x <2 \\ ~\\
f(x)=-2x+8 & ; \ 2\le x \le 3
\end{matrix}
\right. ⎩ ⎨ ⎧ f ( x ) = x f ( x ) = − 2 x + 8 ; 1 ≤ x < 2 ; 2 ≤ x ≤ 3
الدالة f f f x = 2 x=2 x = 2 [ 1 , 3 ] [1,3] [ 1 , 3 ] [ 1 , 4 ] [1,4] [ 1 , 4 ]
