طريقة لتحديد الجدر الحقيقي لحدودية من الدرجة 3
تعريف نسمي P P P
P ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d P(x)=ax^3+bx^2+cx+d P ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d a , b , c a,b,c a , b , c d d d a ≠ 0 a\ne0 a = 0
ماهو جدر حدودية؟ جذر حدودية هو قيمة تجعل الحدودية متساويةً بالصفر عند استبدالها بالمتغير.
بمعنى آخر، نقول أن α \alpha α P P P P ( α ) = 0 P(\alpha)=0 P ( α ) = 0
مثال
العدد 1 هو جدر للحدودية : P ( x ) = x 3 + 2 x − 3 P(x)=x^3+2x-3 P ( x ) = x 3 + 2 x − 3 P ( 1 ) = 1 3 + 2 × 1 − 3 = 0 P(1)=1^3+2\times 1-3=0 P ( 1 ) = 1 3 + 2 × 1 − 3 = 0
هل كل حدودية من الدرجة 3 تقبل جدر حقيقي ؟ الجواب : نعم
لتكن P حدودية من الدرجة 3 بمعاملات أعداد حقيقية
P ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d P(x)=ax^3+bx^2+cx+d P ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d a , b , c a,b,c a , b , c d d d a ≠ 0 a\ne0 a = 0
لدينا نهايات الحدودية P P P − ∞ -\infty − ∞ + ∞ +\infty + ∞ a a a
ولدينا الحدودية P P P R \mathbb{R} R
إدن حسب مبرهنة القيم الوسطية الحدودية P P P
طريقة لتحديد الجدر الحقيقي فيما يلي
طريقة لتحديد هدا الجدر الحقيقي
نضع : x = X + h x=X+h x = X + h
P ( x ) = P ( X + h ) = a ( X + h ) 3 + b ( X + h ) 2 + c ( X + h ) + d P(x)=P(X+h)=a(X+h)^3+b(X+h)^2+c(X+h)+d P ( x ) = P ( X + h ) = a ( X + h ) 3 + b ( X + h ) 2 + c ( X + h ) + d
= a X 3 + ( 3 a h + b ) X 2 + ( 3 a h 2 + 2 b h + c ) X + a h 3 + b h 2 + c h + d \ \ =aX^3+(3ah+b)X^2+(3ah^2+2bh+c)X+ah^3+bh^2+ch+d = a X 3 + ( 3 ah + b ) X 2 + ( 3 a h 2 + 2 bh + c ) X + a h 3 + b h 2 + c h + d
لنجعل معامل X 2 X^2 X 2 h = − b 3 a h=-\dfrac{b}{3a} h = − 3 a b
للإختصار تعبير الحدودية P نضع :
p = 3 a h 2 + 2 b h + c a p=\dfrac{3ah^2+2bh+c}{a} p = a 3 a h 2 + 2 bh + c q = − a h 3 + b h 2 + c h + d a q=-\dfrac{ah^3+bh^2+ch+d}{a} q = − a a h 3 + b h 2 + c h + d
ومنه : P ( X + h ) = a ( X 3 + p X − q ) P(X+h)=a(X^3+pX-q) P ( X + h ) = a ( X 3 + pX − q )
لدينا :
P ( x ) = 0 ⇔ P ( X + h ) = 0 ⇔ a ( X 3 + p x − q ) = 0 ⇔ X 3 + p x = q \begin{align*}
P(x)=0 & \Leftrightarrow P(X+h)=0 \\
& \Leftrightarrow a(X^3+px-q)=0 \\
& \Leftrightarrow X^3+px=q
\end{align*} P ( x ) = 0 ⇔ P ( X + h ) = 0 ⇔ a ( X 3 + p x − q ) = 0 ⇔ X 3 + p x = q نضع : X = u + v X=u+v X = u + v u , v ∈ C u,v\in\mathbb{C} u , v ∈ C
P ( x ) = 0 ⇔ X 3 + p x = q ⇔ ( u + v ) 3 + p ( u + v ) = q ⇔ u 3 + 3 u 2 v + 3 u v 2 + v 3 + p ( u + v ) = q ⇔ u 3 + v 3 + 3 u v ( u + v ) + p ( u + v ) = q ⇔ u 3 + v 3 + ( u + v ) ( 3 u v + p ) = q \begin{align*}
P(x)=0 & \Leftrightarrow X^3+px=q \\
& \Leftrightarrow (u+v)^3+p(u+v)=q \\
& \Leftrightarrow u^3+3u^2v+3uv^2+v^3+p(u+v)=q \\
& \Leftrightarrow u^3+v^3+3uv(u+v)+p(u+v)=q \\
& \Leftrightarrow u^3+v^3+(u+v)(3uv+p)=q \\
\end{align*} P ( x ) = 0 ⇔ X 3 + p x = q ⇔ ( u + v ) 3 + p ( u + v ) = q ⇔ u 3 + 3 u 2 v + 3 u v 2 + v 3 + p ( u + v ) = q ⇔ u 3 + v 3 + 3 uv ( u + v ) + p ( u + v ) = q ⇔ u 3 + v 3 + ( u + v ) ( 3 uv + p ) = q نختار u u u v v v u v = − p 3 uv=-\dfrac{p}{3} uv = − 3 p
{ u + v = X u v = − p 3 \left\{
\begin{matrix}
u+v=X \\
uv=-\frac{p}{3}
\end{matrix}
\right.
{ u + v = X uv = − 3 p
دائما تقبل حلول في C × C \mathbb{C}\times\mathbb{C} C × C
إدن لدينا النظمة التالية :
{ u 3 + v 3 = q u 3 v 3 = ( − p 3 ) 3 \left\{
\begin{matrix}
u^3+v^3=q \\
u^3v^3=\left(-\frac{p}{3}\right)^3
\end{matrix}
\right. { u 3 + v 3 = q u 3 v 3 = ( − 3 p ) 3 العددين العقديين u 3 u^3 u 3 v 3 v^3 v 3
t 2 − q t + ( − p 3 ) 3 = 0 t^2-qt+ \left(-\frac{p}{3}\right)^3=0 t 2 − qt + ( − 3 p ) 3 = 0
مميز هده الحدودية :
Δ = q 2 + 4 p 3 27 \Delta = q^2+ \dfrac{4p^3}{27} Δ = q 2 + 27 4 p 3
لدينا تلاتة حالات :
في حالة Δ = 0 \Delta =0 Δ = 0
u 3 = v 3 = q 2 u^3=v^3=\dfrac{q}{2} u 3 = v 3 = 2 q
إدن : X = u + v = 2 q 2 3 X=u+v=2\sqrt[3]{\dfrac{q}{2}} X = u + v = 2 3 2 q
ومنه : x = X + h = 2 q 2 3 + h x=X+h=2\sqrt[3]{\dfrac{q}{2}}+h x = X + h = 2 3 2 q + h h = − b 3 a h=-\dfrac{b}{3a} h = − 3 a b q = − a h 3 + b h 2 + c h + d a q=-\dfrac{ah^3+bh^2+ch+d}{a} q = − a a h 3 + b h 2 + c h + d
في حالة Δ > 0 \Delta >0 Δ > 0
في هده الحالة المعادلة تقبل حلين حقيقيين :
u 3 = q + Δ 2 ; ; v 3 = q − Δ 2 u^3=\dfrac{q+\sqrt{\Delta}}{2} \ \ ;; \ \ v^3=\dfrac{q-\sqrt{\Delta}}{2} u 3 = 2 q + Δ ;; v 3 = 2 q − Δ ومنه : X = u + v = q + Δ 2 3 + q − Δ 2 3 X=u+v=\sqrt[3]{\dfrac{q+\sqrt{\Delta}}{2}}+\sqrt[3]{\dfrac{q-\sqrt{\Delta}}{2}} X = u + v = 3 2 q + Δ + 3 2 q − Δ
X = q + q 2 + 4 p 3 27 2 3 + q − q 2 + 4 p 3 27 2 3 X=\sqrt[3]{\dfrac{q+\sqrt{q^2+ \dfrac{4p^3}{27}}}{2}}+\sqrt[3]{\dfrac{q-\sqrt{q^2+ \dfrac{4p^3}{27}}}{2}} X = 3 2 q + q 2 + 27 4 p 3 + 3 2 q − q 2 + 27 4 p 3
في حالة Δ < 0 \Delta <0 Δ < 0
في هده الحالة المعادلة تقبل حلين عقديين مترافقين :
u 3 = q + i − Δ 2 ; ; v 3 = q − i − Δ 2 u^3=\dfrac{q+i\sqrt{-\Delta}}{2} \ \ ;; \ \ v^3=\dfrac{q-i\sqrt{-\Delta}}{2} u 3 = 2 q + i − Δ ;; v 3 = 2 q − i − Δ ومع دالك يمكن تحديد عددين u u u v v v مترافقين ونعلم أن مجموع عددين عقديين مترافقين هو عدد حقيقي
إدن حتى في هده الحالة فالحل X = u + v X=u+v X = u + v
خلاصة P ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d P(x)=ax^3+bx^2+cx+d P ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d a , b , c a,b,c a , b , c d d d a ≠ 0 a\ne0 a = 0
نضع : x = X + h x=X+h x = X + h h = − b 3 a h=-\dfrac{b}{3a} h = − 3 a b
p = 3 a h 2 + 2 b h + c a p=\dfrac{3ah^2+2bh+c}{a} p = a 3 a h 2 + 2 bh + c q = − a h 3 + b h 2 + c h + d a q=-\dfrac{ah^3+bh^2+ch+d}{a} q = − a a h 3 + b h 2 + c h + d
P ( X + h ) = a ( X 3 + p X − q ) = a Q ( X ) P(X+h)=a(X^3+pX-q)=aQ(X) P ( X + h ) = a ( X 3 + pX − q ) = a Q ( X )
نضع : X = u + v X=u+v X = u + v
u 3 u^3 u 3 v 3 v^3 v 3 t 2 − q t + ( − p 3 ) 3 = 0 t^2-qt+ \left(-\frac{p}{3}\right)^3=0 t 2 − qt + ( − 3 p ) 3 = 0
إدن عند تحديد حلول المعادلة t 2 − q t + ( − p 3 ) 3 = 0 t^2-qt+ \left(-\frac{p}{3}\right)^3=0 t 2 − qt + ( − 3 p ) 3 = 0 X = u + v X=u+v X = u + v X X X Q ( X ) Q(X) Q ( X ) x = X + h x=X+h x = X + h P ( x ) P(x) P ( x )
مثال تطبيقي Q ( X ) = X 3 + X − 2 Q(X)=X^3+X-2 Q ( X ) = X 3 + X − 2
نضع : X = u + v X=u+v X = u + v
لدينا : p = 1 p=1 p = 1 q = 2 q=2 q = 2
لنحدد حول المعدلة : t 2 − q t + ( − p 3 ) 3 = 0 t^2-qt+ \left(-\frac{p}{3}\right)^3=0 t 2 − qt + ( − 3 p ) 3 = 0
t 2 − 2 t + ( − 1 3 ) 3 = 0 t^2-2t+ \left(-\frac{1}{3}\right)^3=0 t 2 − 2 t + ( − 3 1 ) 3 = 0
Δ = 2 2 − 4 × ( − 1 3 ) 3 = 112 27 \Delta = 2^2-4\times\left(-\frac{1}{3}\right)^3=\dfrac{112}{27} Δ = 2 2 − 4 × ( − 3 1 ) 3 = 27 112 u 3 = q + Δ 2 ; ; v 3 = q − Δ 2 u^3=\dfrac{q+\sqrt{\Delta}}{2} \ \ ;; \ \ v^3=\dfrac{q-\sqrt{\Delta}}{2} u 3 = 2 q + Δ ;; v 3 = 2 q − Δ u 3 = 2 + 2 28 27 2 ; ; v 3 = 2 − 2 28 27 2 u^3=\dfrac{2+2\sqrt{\dfrac{28}{27}}}{2} \ \ ;; \ \ v^3=\dfrac{2-2\sqrt{\dfrac{28}{27}}}{2} u 3 = 2 2 + 2 27 28 ;; v 3 = 2 2 − 2 27 28 X = 1 + 28 27 3 − − 1 + 28 27 3 = 1 X=\sqrt[3]{1+\sqrt{\frac{28}{27}}}-\sqrt[3]{-1+\sqrt{\frac{28}{27}}}=1 X = 3 1 + 27 28 − 3 − 1 + 27 28 = 1 وفي الأخير نود أن نقول ان الطريقة المعتمدة تسمى طريقة كاردانو (Cardano’s Method)