أساسيات في المنطق الرياضي

المنطق الرياضي يعتبر جزءًا أساسيًا من الرياضيات، حيث يهتم بدراسة الأسس والقواعد التي تحكم الاستدلال الصحيح والتفكير الرياضي المحكم.

تعريف المنطق

المنطق هو قواعد عقلية مبنية على مسلمات يقبلها العقل تساعد على الإستدلال بصورة صحيحة

في هده الرحلة سنكتشف عدة أسس تنبني عليها الرياضيات وهي أسس في منهج الإستذلال والصواب والخطأ

العبارة الرياضية (mathematical proposition)

العبارة الرياضية هي أي نص رياضي يكون إما صحيحًا أو خاطئًا، وليس الإتنين معا، و وفقًا لقواعد ومبادئ الرياضيات

أمثلة

« $1+1=2$ » هي عبارة رياضية وقيمة حقيقتها صحيحة
« $2+2=5$ » عبارة رياضية ، قيمة حقيقتها خاطئة
«مجموع عددين زوجيين هو عدد زوجي» هي عبارة رياضية صحيحة
«مجموع قياسات الزويا الداخلية لمثلث يساوي $180^\circ$ » هي عبارة رياضية صحيحة
« $3\times 5$ » ليست عبارة , لأنه ليست لها قيمة حقيقة بمعنى لايمكننا الحكم عليها بالصحة أو الخطأ.
«الجو ممطر» هي عبارة قد تكون صحيحة ، قد تكون خاطيئة

بشكل عام نرمز للعبارة بحروف مثل : $P$ , $Q$ , $R$ $....$

جدول الحقيقة (Truth Table)

هو جدول بدأ إستخدامه في المنطق الرياضي وأصبح يستخدم كدالك في علوم الحاسوب.

بإختصار هو جدول يوضح مختلف قيم الحقيقة الممكنة لعبارة ما

مثلا بالنسبة لعبارة $P$ تأخد إحدى القيمتين : صحيحة (True) أو خاطئة (False)

للتبسيط :

نعبر عن صحيحة ب (T) أو الرقم 1
نعبر عن خاطية ب (F) أو الرقم 0

جدول الحقيقة لعبارة P :

أو

العمليات على العبارات

العلاقات المنطقية تتضمن النفي (Negation)، العطف (Conjunction)، الفصل (Disjunction)، الإستلزام (Implication) و التكافؤ (Equivalence).

نفي عبارة (Negation of Statement)

نفي عبارة يعني عكسها أو تحويلها إلى حالة تكون غير صحيحة إذا كانت العبارة الأصلية صحيحة، وصحيحة إذا كانت العبارة الأصلية غير صحيحة. يشار إلى نفي العبارة $P$ بالرمز $\overline{P}$ أو $¬P$

جدول حقيقة نفي عبارة

$P$	$\overline{P}$
$T$	$F$
$F$	$T$

أمثلة

العبارة	قيمة حقيقتها	نفيها	قيمة حقيقة نفيها
« $1+2=3$ »	T	« $1+2\ne3$ »	F
«العدد 13 عدد زوجي»	F	«العدد 13 عدد فردي»	T
« $17\in\mathbb{N}$ »	T	« $17\notin\mathbb{N}$ »	F
« $1^2+3^2 \le 12$ »	T	« $1^2+3^2 > 12$ »	F

إليك بعض الأمثلة على النفي من الحياة اليومية:

—

العبارة الأصلية: «أنا أمارس الرياضة بانتظام.»

النفي: «أنا لا أمارس الرياضة بانتظام.»

—

العبارة الأصلية: «أقرأ كتابًا كل شهر.»

النفي: «أنا لا أقرأ كتابًا كل شهر.»

—

العبارة الأصلية: «أستخدم هاتفي المحمول في كل وقت.»

النفي: «لا أستخدم هاتفي المحمول في كل وقت.” أو “أحيانًا لا أستخدم هاتفي المحمول.»

—

يساعدنا النفي في تحليل المواقف وفهمها بشكل أفضل من خلال النظر إلى الجوانب المختلفة للعبارات والمواقف.

—

في الرياضيات والبرمجة فهم عملية النفي مهم في المنطق والتحليل الرياضي لأنه يساعد في تحديد الحالات المتناقضة والتأكد من صحة البرهان أو الدليل أو الخوارزمية.

عطف عبارتين (Conjunction)

لتكن $P$ و $Q$ عبارتين

إنطلاقا من العبارتين $P$ و $Q$ نكون العبارة «P و Q» التي تسمى عطف العبارتين $P$ و $Q$
نرمز لعطف العبارتين $P$ و $Q$ ب : «»P و Q» أو ب «P ∧ Q»
العبارة «P و Q» صحيحة إذا وفقط إذا كانت كل من $P$ و $Q$ صحيحة
ومنه العبارة «P و Q» خاطئة إذا وفقط أي من العبارتين $P$ و $Q$ خاطئة أو كلاهما.

جدول الحقيقة للعطف:

P	Q	P ∧ Q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

أمثلة على عطف العبارات:

إذا كانت P تقول “العدد 4 زوجي ” و Q تقول “العدد 4 أكبر من 3” فإن عطف العبارتين «P ∧ Q» هو “العدد 4 زوجي والعدد 4 أكبر من 3” وهذه العبارة صحيحة لأن كلا العبارتين 𝑃 و 𝑄 صحيحتان.
إذا كانت P تقول “العدد 5 فردي” و Q تقول “العدد 5 أكبر من 6” فإن عطف العبارتين «P ∧ Q» هو “العدد 5 فردي والعدد 5 أكبر من 6” وهذه العبارة خاطئة لأن العبارة 𝑄 خاطئة (العدد 5 ليس أكبر من 6).

استخدامات العطف:

العطف يُستخدم في المنطق الرياضي لتكوين عبارات مركبة تحتاج تحقق عدة شروط معًا.
في البرمجة، يستخدم العطف للتحقق من تحقق عدة شروط قبل تنفيذ كتلة معينة من التعليمات.
في الحياة اليومية، يمكن استخدام العطف لتحديد شروط معينة يجب أن تتحقق معًا. مثلا، “إذا كان الطقس مشمسًا والوقت صباحًا، فسأذهب لممارسة الرياضة”.

باختصار، العطف هو أداة مهمة في المنطق الرياضي والتحليل المنطقي لأنه يسمح بتحديد الحالات التي تتطلب تحقق أكثر من شرط في نفس الوقت.

فصل عبارتين (Disjunction)

لتكن $P$ و $Q$ عبارتين

دمج عبارتين بإستخدام كلمة ‘أو’ يسمى فصل عبارتين لتكوين عبارة جديدة تكون صحيحة إذا كانت إحدى العبارتين أو كلتاهما صحيحة. ونرمز إلى فصل العبارتين 𝑃 و Q ب : «P أو Q» أو ب «P ∨ Q»

جدول الحقيقة للفصل:

P	Q	«P ∨ Q»
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

مثال على فصل العبارات:

إذا كانت P تقول “أنا سأشاهد فيلما” و Q تقول “أنا سأقرأ كتابا” فإن فصل العبارتين «P ∨ Q» هو “أنا سأشاهد فيلما أو سأقرأ كتابا” وهذه العبارة تكون صحيحة إذا قمت بمشاهدة فيلم أو قراءة كتاب أو كلاهما. وتكون خاطئة فقط إذا لم أقم بمشاهدة فيلم ولم أقرأ كتابا.

ملاحظة : في الرياضيات، “أو” غير حصري، بمعنى أنه يتضمن إمكانية أن تكون كلتا العبارتين صحيحتين. على سبيل المثال، العبارة “xy = 0” تعادل العبارة “x = 0 أو y = 0”. تكون هذه العبارة صحيحة عندما يكون أحد العددين صفراً، وتكون أيضاً صحيحة عندما يكون كلا العددين صفراً.

استخدامات الفصل:

الفصل يُستخدم في المنطق الرياضي لتكوين عبارات مركبة تسمح بتحقق إحدى الشروط أو أكثر.
في البرمجة، يستخدم الفصل للتحقق من تحقق أحد الشروط لتنفيذ كتلة معينة من التعليمات.
في الحياة اليومية، يمكن استخدام الفصل لتحديد خيارات متعددة. مثلا، “سأذهب للنزهة أو سأبقى في المنزل.”

باختصار، الفصل هو أداة مهمة في المنطق الرياضي والتحليل المنطقي لأنه يسمح بتحديد الحالات التي يكفي فيها تحقق أحد الشروط أو أكثر.

الإستلزام (Implication)

القانون « $Q~$ أو $~\overline{P}$ » يسمى الإستلزام ونكتب : « $P\implies Q$ »

تُسمى P بالفرضية و Q بالنتيجة.

العبارة : « $P\implies Q$ » لها عدة قراءات :

إذا كان P (صحيحة) فإن Q (صحيحة)
لكي يتحقق P يجب أن يتحقق 𝑄
لكي يتحقق Q يكفي أن يتحقق 𝑃
P هو شرط كافٍ لـ 𝑄
Q هو شرط لازم لـ 𝑃

جدول الحقيقة للاستلزام

P	Q	$\overline{P}$	« $Q$ أو $\overline{P}$ »	« $P\implies Q$ »
T	T	F	T	T
T	F	F	F	F
F	T	T	T	T
F	F	T	T	T

العبارة « $P\implies Q$ » تكون خاطئة فقط إذا كانت $P$ صحيحة و $Q$ خاطئة

الإستلزام « $Q\implies P$ » يسمى الإستلزام العكسي للإستلزام « $P\implies Q$ »

أمثلة

—

إذا كانت P تقول «العدد 10 زوجي» و Q تقول «العدد 10 يقبل القسمة على 2»

الاستلزام « $P\implies Q$ » هو «إذا كان العدد 10 زوجي، فإنه يقبل القسمة على 2».

هذه العبارة صحيحة لأن العدد 10 زوجي فعلًا ويقبل القسمة على 2.

—

إذا كانت P تقول “اليوم مشمس” و Q تقول “سأذهب للنزهة”:

الاستلزام « $P\implies Q$ » هو «إذا كان اليوم مشمسًا، سأذهب للنزهة».

تكون هذه العبارة صحيحة ما لم يكن اليوم مشمسًا وأنا لا أذهب للنزهة.

—

استخدامات الاستلزام:

الاستلزام يُستخدم في المنطق الرياضي والبرهان لإظهار العلاقة الشرطية بين العبارات.
في البرمجة، يمكن استخدام الاستلزام في العبارات الشرطية لضمان تنفيذ التعليمات بناءً على تحقق شرط معين.
في الحياة اليومية، يمكن استخدام الاستلزام لتحديد النتائج المتوقعة من شروط معينة. مثلا، “إذا درست جيدًا، فسوف أنجح في الامتحان”.

توضيح العبارة الأصلية: “إذا كان الطالب يذاكر جيدًا، فسوف ينجح في الامتحان”

الاحتمالات الممكنة:

إذا كان الطالب يذاكر جيدا وينجح في الامتحان، فالعبارة صحيحة.
إذا كان الطالب يذاكر جيدا ولا ينجح في الامتحان، فالعبارة خاطئة.
إذا كان الطالب لا يذاكر جيدا ولكنه ينجح في الامتحان، فالعبارة صحيحة.
إذا كان الطالب لا يذاكر جيدا ولا ينجح في الامتحان، فالعبارة صحيحة.

تكافؤ عبارتين (Equivalence)

نقول إن عبارتين متكافئتان منطقيًا إذا كان لهما نفس قيمة الحقيقة، وسنرمز لهما بـ « $P\iff Q$ »

. بمعنى آخر، العبارة « $P\iff Q$ » تكون صحيحة إذا كانت $P$ و $Q$ كلتاهما صحيحتين أو كلتاهما خاطئتين. العبارة

« $P\iff Q$ » تعادل العبارة « $P\implies Q~و~Q\implies P$ » يمكننا التعبير عنها كما يلي:

$P$ يكافئ $Q$
$P$ إذا وفقط إذا كان $Q$ .
لكي يتحقق $P$ ، يجب ويتطلب $Q$
$P$ هو شرط لازم وكافٍ لـ $Q$ .

مثال

إذا كانت P تقول «العدد 10 زوجي» و Q تقول «العدد 10 يقبل القسمة على 2»

التكافؤ « $P\iff Q$ » هو «العدد 10 زوجي إذا وفقط إذا كان العدد 10 يقبل القسمة على 2».

هذه العبارة صحيحة لأن العدد 10 زوجي فعلًا ويقبل القسمة على 2، ولا يكون أحدهما صحيحًا والآخر خاطئًا.

جدول الحقيقة التكافؤ

P	Q	« $P\iff Q$ »
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	T

استخدامات التكافؤ:

التكافؤ يُستخدم في المنطق الرياضي والبرهان لتأكيد العلاقة المتبادلة بين العبارات.
في البرمجة، يمكن استخدام التكافؤ للتحقق من تحقق شرطين بشكل متزامن.
في الحياة اليومية، يمكن استخدام التكافؤ لتحديد العلاقات المتبادلة بين الأحداث. مثلا، “سأحمل مظلة إذا وفقط إذا كان المطر يتساقط، ”

ملاحظة باستعمال جداول الحقيقة يمكن البرهان على التكافؤات التالية :

$\overline{\overline{P}} \iff P$
$\overline{P ∧ Q} \iff \overline{P}\vee \overline{Q}$
$\overline{P \vee Q} \iff \overline{P} ∧ \overline{Q}$
$P \vee(Q∧R) \iff (P\vee Q)∧(P\vee R)$
$P∧(Q\vee R) \iff (P∧Q)\vee(P∧R)$

مثال

: بالنسبة للتكافؤ : $\overline{\overline{P}} \iff P$

P	$\overline{P}$	$\overline{\overline{P}}$	$\overline{\overline{P}} \iff P$
T	F	T	T
F	T	F	T

$\overline{P}$

$\overline{\overline{P}}$

\overline{\overline{P}} \iff P

: بالنسبة للتكافؤ : $\overline{P ∧ Q} \iff \overline{P}\vee \overline{Q}$

P	Q	$\overline{P}$	$\overline{Q}$	$P ∧ Q$	$\overline{P ∧ Q}$	$\overline{P} \vee \overline{Q}$	$\overline{P ∧ Q} \iff \overline{P} \vee \overline{Q}$
T	T	F	F	T	F	F	T
T	F	F	T	F	T	T	T
F	T	T	F	F	T	T	T
F	F	T	T	F	T	T	T

بنفس الطريقة نبرهن على القونين الأخرى

المكممات (Quantifiers)

المكمم يسمح بتحديد مجال صحة العبارة.

نعتبر في ما يلي نوعين من المكممات : مكمم شمولي و مكمم وجودي

المكمم الشمولي

الرمز $\forall$ الذي يعني “لكل” أو “لكافة” يمثل المكمم الشمولي. هذا الرمز يمثل الحرف A مقلوبًا وهو الحرف الأول من الكلمة الإنجليزية “All”. يجب دائمًا أن يتبعه رمز الانتماء $\in$

مثال

العبارة: « $\forall x\in\mathbb{R}~:~x^2\ge0$ »

تعني “لكل x ينتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية $\mathbb{R}$ لدينا مربع العدد $x$ يكون دائما موجبا أو منعدما.

المكمم الوجودي

الرمز $\exists$ الذي يعني “يوجد على الأقل … حيث” يمثل المكمم الوجودي. هذا الرمز يمثل الحرف E مقلوبًا وهو الحرف الأول من الكلمة الإنجليزية “exist”. يمكن إضافة علامة تعجب لإظهار التفرد. لدينا عندئذٍ: $\exists!$ الذي يعني “يوجد عنصر وحيد … حيث”.

أمثلة

العبارة: « $\exists y\in\mathbb{N}~:~y>10$ »

تعني: “يوجد y ينتمي إلى مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية حيث y أكبر من 10

هذه العبارة تعني أنه يوجد على الأقل عدد صحيح طبيعي واحد أكبر من 10 (مثل العدد 11).

العبارة: « $\exists! x\in\mathbb{R}~:~x+2=3$ »

تعني : يوجد عنصر x وحيد من مجموعة الأعداد الحقيقية حيث : $x+2=3$

والعبارة صحيحة لأنه يوجد عنصر وحيد وهو $x=1$

خاصيات المكممات

تمتلك المكممات مجموعة من الخصائص، من بينها: ترتيب المكممات - نفي العبارة الشمولية - نفي العبارة الوجودية

من أجل دالك لتكن $E$ مجموعة معينة و $P$ عبارة تتعلق بعناصر المجموعة $E$ (دالة عبارية)

ترتيب المكممات: تغيير ترتيب كتابة المكممات يؤثر على المعنى.

مثال : العبارة : « $\forall x\in\mathbb{R},\exists y\in\mathbb{R}~:~x<y$ »

تعني «لكل عدد حقيقي $x$ يوجد على الأقل عدد حقيقي $y$ بحيث العدد $y$ أكبر من العدد $x$ »

نستطيع دائما إيجاد عدد حقيقي أكبر من أي عدد حقيقي معطي لأن المجموعة $\mathbb{R}$ غير محدودة. (العبارة صحيحة)

عكسيا العبارة : « $\exists x\in\mathbb{R},\forall y\in\mathbb{R}~:~x<y$ »

تعني : « يوجد عاى الأقل عدد حقيقي $x$ بحيث لكل عدد حقيقي $y$ يكون $y$ أكبر من $x$ »

هذا العبارة هذه المرة خاطئة لأنه لا يمكن العثور على عدد حقيقي أقل من كل الأعداد الأخرى. نتيجة أن مجموعة الأعداد الحقيقية $\mathbb{R}$ لاتمتلك حد سفلي (في هده الحالة العبارة خاطئة)

ملاحظة : ادا استبدلنا في العبارتين السابقتين المجموعة $\mathbb{R}$ بالمجموعة $\mathbb{N}$ تكون العبارتين صحيحتين معا لأن المجموعة $\mathbb{N}$ تتوفر على حد سفلي وهو العدد $0$

يُعرف الحد السفلي كأصغر عنصر في المجموعة أو كعدد يتجاوز جميع القيم الأخرى في المجموعة. في حالة عدم وجود حد سفلي، يُمكن أن يكون الحد السفلي غير محدد أو يساوي اللانهائية.
على سبيل المثال، لنأخذ المجموعة A={1,2,3,5}: في هذه المجموعة، الحد العلوي هو 5، لأنه أكبر عنصر في المجموعة. الحد السفلي هو 1، لأنه أصغر عنصر في المجموعة. ومن الجدير بالذكر أن الحد العلوي والحد السفلي قد لا يكونان جزءًا من المجموعة الأصلية.

نفي العبارة الكونية: تصيغ العبارة الكونية كالتالي: “لكل عنصر x في مجموعة E، فإن x يمتلك الخاصية P”

« $\forall x\in E~:~ P$ »

. فإن نفيها سيكون كالتالي: “هناك على الأقل عنصر x في المجموعة E الذي لا يمتلك الخاصية P”.

« $\exists x\in E~:~ \overline{P}$ »

مثال: لنأخذ العبارة “كل قارئ لهذا المقال يفهم كل ما هو مكتوب”،

نفيها سيكون: “هناك على الأقل قارئ واحد لا يفهم هذا المقال”.

نفي العبارة الوجودية:

العبارة « يوجد على الأقل عنصر $x$ من المجموعة $E$ يحقق الخاصية $P$ »

« $\exists x\in E~:~ {P}$ »

نفيها هو « لكل عنصر $x$ من المجموعة $E$ العنصر $x$ لا يحقق الخاصية $P$ »

« $\forall x\in E~:~ \overline{P}$ »

مثال : « $\exists x\in\mathbb{R}~:~x^2=-1$ »

هذه العبارة خاطئة لأن مربع العدد لا يمكن أن يكون سالبًا. بالمقابل، نفي هذه العبارة صحيحة:

« $\forall x\in\mathbb{R}~:~x^2\ne-1$ »

انتهى، شكرا على حسن القراءة

المقال القادم (حول المنطق) بإدن الله سيكون حول الاستدلالات الرياضية