Direction provinciale de Sidi Kacem

14 - 01 - 2022

Durée : 2h

Exercice 1 (4pts)

xx et yy étant deux nombres réels positifs tels que :

x2+xy+y2=84 x^2+xy+y^2=84 \ et  x−xy+y=6 \ x-\sqrt{xy}+y=6

calculer la valeur de xyxy

on a x−xy+y=6x-\sqrt{xy}+y=6 donc
(x+y)2=(6+xy)2(x+y)^2=(6+\sqrt{xy})^2
x2+xy+y2+xy=36+12xy+xyx^2+xy+y^2+xy=36+12\sqrt{xy}+xy
84=36+12xy84=36+12\sqrt{xy}
12xy=4812\sqrt{xy}=48
xy=4812=4\sqrt{xy}=\frac{48}{12}=4
Donc : xy=16xy=16

Exercice 2 (5pts)

Soit ABCABC un triangle rectangle et isocèle en AA, avec AC=AB=aAC=AB=a
Soit (C)(C) le demi-cercle de centre OO et de diamètre [AC][AC]. La parallèle à (AB)(AB) passant par OO coupe (C)(C) en EE (voir figure)

B
A
C
O
E

Calculer la distance BEBE en fonction de aa.

Notons II le point d’intersection des deux droites (BE) et (AC)

B
A
C
O
E
I

Donc BE=BI+IEBE=BI+IE

On a (AB)//(OE)(AB)//(OE) donc en utilisant le théorème de Thalis

On a IBIE=IAIO=ABOE    (1)\frac{IB}{IE}=\frac{IA}{IO}=\frac{AB}{OE} \ \ \ \ (1)

IBIE=aa/2=2\frac{IB}{IE}=\frac{a}{a/2}=2

Donc IB=2IEIB=2IE

Donc BE=BI+IE=2IE+IE=3IEBE=BI+IE=2IE+IE=3IE

De la reltion (1)(1)

IAIO=aa/2=2\frac{IA}{IO}=\frac{a}{a/2}=2

IA=2IOIA=2IO

Donc IO=OA−IA=a−2IoIO=OA-IA=a-2Io

IO+2IO=aIO+2IO=a

Par le théorème de Pythagore dans le triangle OIE on a :

IE2=OI2+OE2IE^2=OI^2+OE^2

IE2=OI2+OE2=a2+(a3)2=109a2IE^2=OI^2+OE^2=a^2+(\frac{a}{3})^2=\frac{10}{9}a^2

IE=103aIE=\frac{\sqrt{10}}{3}a

D’où :

BE=3IE=3103a=10aBE=3IE=3 \frac{\sqrt{10}}{3}a=\sqrt{10}a

Exercice 3 (6pts)

  1. Montrer que :

    (1999999)2+3999999=4×1012(1999999)^2+3999999=4×10^{12}

  2. aa et bb étant deux nombres réels positives,

    Comparer x=a−bx=\sqrt{a}-\sqrt{b} et y=a+1−b+1y=\sqrt{a+1}-\sqrt{b+1}

Posons a=106a=10^6 , alors:

(1999999)2+3999999=(2a−1)2+(4a−1)(1999999)^2+3999999=(2a-1)^2+(4a-1)

   =4a2−4a+1+4a−1=4a2\ \ \ = 4a^2-4a+1+4a-1=4a^2

   =4×(106)2\ \ \ = 4\times (10^6)^2

   =4×1012\ \ \ =4×10^{12}

x=a−bx=\sqrt{a}-\sqrt{b}

   =(a−b)(a+b)a+b\ \ \ =\frac{(\sqrt{a} -\sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}

   =a−ba+b\ \ \ =\frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}

y=a+1−b+1y=\sqrt{a+1}-\sqrt{b+1}

   =(a+1−b+1)(a+1+b+1)a+1+b+1\ \ \ =\frac{(\sqrt{a+1} -\sqrt{b+1})(\sqrt{a+1} + \sqrt{b+1})}{\sqrt{a+1} + \sqrt{b+1}}

   =a−ba+1+b+1\ \ \ =\frac{a - b}{\sqrt{a+1} + \sqrt{b+1}}

aa et bb sont positifs doc :

a+1≥a   et   b+1≥ba+1\ge a \ \ \ et \ \ \ b+1 \ge b

a+1≥a   b+1≥b\sqrt{a+1} \ge \sqrt{a} \ \ \ \sqrt{b+1} \ge \sqrt{b}

Donc

a+1+b+1≥a+b\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}\ge \sqrt{a}+\sqrt{b}

1a+b≥1a+1+b+1\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\ge \frac{1}{\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}}

Si a≥ba\ge b alors

a−ba+b≥a−ba+1+b+1\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\ge \frac{a-b}{\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}}

x≥yx \ge y

Si b≥ab\ge a alors

a−ba+1+b+1≥a−ba+b\frac{a-b}{\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}}\ge \frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}

y≥xy \ge x

Résumé :

  • Si b≥ab\ge a alors y≥xy \ge x

  • Si a≥ba\ge b alors x≥yx \ge y

Exercice 4 (5pts)

(C)(C) est un cercle de diamètre AB=9AB=9

M∈(C)M\in(C) tel que la distance AM=4.5AM = 4.5

A
B
E
F
M

Calculer l’aire du rectangle ABFEABFE

A
B
E
F
M
O

On a : OA=AB2=4,5OA=\frac{AB}{2}=4,5

Donc : OA=OM=AM=4,5OA=OM=AM=4,5

Le triangle OAM est équilatérale

Donc : OAM^=60°\widehat{OAM}=60°

Et on a : EAM^=EAO^−OAM^=90°−60°=30°\widehat{EAM}=\widehat{EAO}-\widehat{OAM}=90°-60°=30°

cos(EAM^)=EAAM=EA4,5cos(\widehat{EAM})=\frac{EA}{AM}=\frac{EA}{4,5}

et on sait que : cos(30°)=32cos(30°)=\frac{\sqrt{3}}{2}

Donc : EA4,5=32\frac{EA}{4,5}=\frac{\sqrt{3}}{2}

Donc : EA=4,532=934EA=4,5\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{4}

L’aire du rectangle ABFEABFE est :

EA×AB=934×9=8134EA\times AB=\frac{9\sqrt{3}}{4}\times 9=\frac{81\sqrt{3}}{4}