Olympiades des mathématiques 2ème APIC

$-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{-b-a}{ab}=-\frac{b+a}{ab}=-\frac{ab}{ab}=-1$

Pour le périmètre :

$p=x+6+4+x+(4+x)+(6+x)$

$\ \ =4x+20$

Pour la surface :

$S=(4+x)(6+x)-4×6$

$\ \ =24+4x+6x+x^2-24$

$\ \ =x^2+10x$

Posons: $n=abc$ avec

$a$ est le chiffre des centaines de $n$,

$b$ est le chiffre des dizaines de $n$,

$c$ est le chiffre des unités de $n$

On a d’après les données :

$c=\frac{b}{2} \ \ \ \ (1)$

$c=\frac{a}{3} \ \ \ \ (2)$

De (1) et (2) on déduit que :

$\frac{b}{2}=\frac{a}{3}$

$3b=2a$

on remarque que $a$ est un multiple de 3

les valeurs possibles de a sont : 3 ; 6 et 9 donc :

pour $a=3$ on a $3b=6$ donc $b=2$ et $c=1$

pour $a=6$ on a $3b=12$ donc $b=4$ et $c=2$

pour $a=9$ on a $3b=18$ donc $b=6$ et $c=3$

d’où les valeurs possibles de $n$ sont : $321 \ \ ; \ 642 \ \ et \ 963$

On note par $A$ l’aire de la partie colorée en noire

Si on trace le carré dont ses sommets sont les centres des quatre cercles :

Alors le côté de ce carré est : $2r$

donc l’aire de la partie colorée en noire est

$A=(4r)^2 - \pi\times r^2=(16-\pi)r^2$

On a $\dfrac{a-1}{a-b}=\dfrac{1}{a+b}$

donc : $(a-1)(a+b)=1×(a-b)$

$a^2+ab-a-b=a-b$

$a^2+ab-a-b-a+b=0$

$a^2+ab-2a=0$

$a(a+b-2)=0$

$a+b-2=0 \ \ car \ \ a\ne 0$

d’où : $a+b=2$