f(x)=3ex−1ex+1f(x) = \dfrac{3e^x - 1}{e^x + 1}

et (Cf)(\mathcal{C}_f) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1/ Limite en −∞-\infty et interprétation

On a :

lim⁡x→−∞f(x)=lim⁡x→−∞3ex−1ex+1=0−10+1=−1\begin{align*} \lim_{x \to -\infty} f(x) &= \lim_{x \to -\infty} \frac{3e^x - 1}{e^x + 1}\\ &= \frac{0 - 1}{0 + 1} = -1 \end{align*}

✅ Interprétation :
La droite d’equation y=−1y = -1 est une asymptote horizontale à (Cf)(\mathcal{C}_f) en −∞{-\infty}

2/a/ f(x)=3−4ex+1f(x) = 3-\dfrac{4}{e^{x}+1} ; (∀x∈R)(\forall x \in \mathbb{R}).

f(x)=3ex−1ex+1=3(ex+1)−3−1ex+1=3(ex+3)ex+1+−4ex+1=3−4ex+1\begin{align*} f(x) =& \frac{3e^x - 1}{e^x + 1} \\ &= \frac{3(e^x+1)-3-1}{e^x+1}\\ &= \frac{3(e^x+3)}{e^x+1}+\frac{-4}{e^x+1}\\ &=3 - \frac{4}{e^x+1} \end{align*}

2/b/ Limite en +∞+\infty et interprétation

lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞3−4ex+1=3−0=3\begin{align*} \lim_{x \to +\infty} f(x) &= \lim_{x \to +\infty} 3 - \frac{4}{e^{x} + 1} \\ &= 3-0=3 \end{align*}

car lim⁡x→+∞ex=+∞\lim\limits_{x \to +\infty} e^x=+\infty et lim⁡x→+∞1ex+1=0\lim\limits_{x \to +\infty} \frac1{e^x+1}=0

✅ Interprétation :
La droite d’équation y=3y = 3 est une asymptote horizontale à (Cf)(\mathcal{C}_f) en +∞{+\infty}.

3/a/ f′(x)=4ex(ex+1)2\quad f'(x) = \dfrac{4e^x}{(e^x + 1)^2} ?

on a

f(x)=3ex−1ex+1f(x)=\dfrac{3e^x - 1}{e^x + 1}

Posons :

  • u(x)=3ex−1u(x) = 3e^x - 1 et v(x)=ex+1v(x) = e^x + 1

Donc

  • u′(x)=2exu'(x)=2e^x et v′(x)=exv'(x)=e^x

Alors (∀x∈R)(\forall x\in\R) :

f′(x)=u′v−uv′v2=3ex(ex+1)−(3ex−1)ex(ex+1)2=3e2x+3ex−3e2x+ex(ex+1)2=4ex(ex+1)2\begin{align*} f'(x) &= \frac{u'v - uv'}{v^2} \\ &= \frac{3e^x(e^x + 1) - (3e^x - 1)e^x}{(e^x + 1)^2}\\ &= \frac{3e^{2x}+3e^x - 3e^{2x}+e^x}{(e^x + 1)^2}\\ &= \frac{4e^x}{(e^x + 1)^2} \end{align*}

3/b/

Signe de f′(x)f'(x)

Puisque ex>0e^x > 0 pour tout xx : f′(x)>0f'(x) > 0 pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}

✅ La fonction ff est strictement croissante sur R\mathbb{R}.

3/c/ Tableau de variations

x−∞+∞f′(x)+3f(x)↗−1\begin{array}{|c|ccc|} \hline x & -\infty & & +\infty \\\hline f'(x) & & + & \\\hline & & & 3 \\ f(x) & & \nearrow & \\ & -1 & & \\\hline \end{array}

4/a/ Calcul de f(−ln⁡3)f(-\ln 3)

e−ln⁡3=eln⁡(3−1)=3−1=13e^{-\ln 3} = e^{\ln(3^{-1})}=3^{-1}= \frac{1}{3}
f(−ln⁡3)=3⋅13−113+1=1−143=0f(-\ln 3) = \frac{3 \cdot \frac{1}{3} - 1}{\frac{1}{3} + 1} = \frac{1 - 1}{\frac{4}{3}} = 0

4/b/ Image de l’intervalle [−ln⁡3,0][-\ln 3, 0]

ff continue est strictement croissante sur [−ln⁡3,0][-\ln 3, 0], donc :

f([−ln⁡3,0])=[f(−ln⁡3),f(0)]f([-\ln 3, 0])=[f(-\ln 3), f(0)]
  • f(−ln⁡3)=0f(-\ln 3) = 0
  • f(0)=3⋅1−11+1=22=1f(0) = \frac{3 \cdot 1 - 1}{1 + 1} = \frac{2}{2} = 1

✅ Donc :

f([−ln⁡3 ; 0])=[0 ; 1]f\left([-\ln 3\, ;\, 0]\right) = [0\, ;\, 1]

5/ Équation de la tangente au point d’abscisse 00

y=f′(0)(x−0)+f(0)y=f'(0)(x-0)+f(0)
  • f(0)=1f(0) = 1
  • f′(0)=4(1+1)2=44=1f'(0) = \frac{4}{(1 + 1)^2} = \frac{4}{4} = 1

Donc l’équation de la tangente au point d’abscisse 00

(T):y=x+1{(T)} : y = x + 1

6/a/ f′′(x)=4ex(1−ex)(ex+1)3f''(x) = \dfrac{4e^x(1 - e^x)}{(e^x + 1)^3} ?

(fn)′=nf′(f)n−1(f^n)'=nf'(f)^{n-1}

On a :

f′(x)=4ex(ex+1)2f'(x) = \frac{4e^x}{(e^x + 1)^2}

Posons u(x)=4ex u(x) = 4e^x~,   v(x)=(ex+1)2~~v(x) = (e^x + 1)^2

Donc

  • u′(x)=4ex u'(x) = 4e^x~
  • v′(x)=2ex(ex+1)v'(x) = 2e^x(e^x + 1)

Alors :

f′′(x)=u′v−uv′v2=4ex(ex+1)2−8e2x(ex+1)(ex+1)4 =4ex(ex+1)−8e2x(ex+1)3 =4e2x+4ex−8e2x(ex+1)3 =4ex−4e2x(ex+1)3 =4ex(1−ex)(ex+1)3\begin{align*} f''(x) &= \frac{u'v - uv'}{v^2}\\ &= \frac{4e^x (e^x + 1)^2 - 8e^{2x}(e^x + 1)}{(e^x + 1)^4}\\~\\ &= \frac{4e^x (e^x + 1) - 8e^{2x}}{(e^x + 1)^3}\\~\\ &= \frac{4e^{2x} + 4e^x - 8e^{2x}}{(e^x + 1)^3}\\~\\ &= \frac{4e^x - 4e^{2x}}{(e^x + 1)^3}\\~\\ &= \frac{4e^x(1 - e^x)}{(e^x + 1)^3} \end{align*}

6/b/ Point d’inflexion

Soit x∈Rx\in\R

On a : f′′(x)=4ex(1−ex)(ex+1)3f''(x) = \frac{4e^x(1 - e^x)}{(e^x + 1)^3}

Le signe de f′′(x)f''(x) est celui de 1−ex1 - e^x car 4ex(ex+1)3>0 \frac{4e^x}{(e^x + 1)^3}>0

1−ex=0⇔ex=1⇔ex=e0⇔x=0\begin{align*} 1-e^x=0 &\Leftrightarrow e^x=1\\ &\Leftrightarrow e^x=e^0 \\ &\Leftrightarrow x=0 \end{align*}
x<0  ⟺  ex<e0  ⟺  0<1−ex  ⟺  f′′(x)<0\begin{align*} x < 0 &\iff e^x < e^0 \\&\iff 0 <1-e^x \\&\iff f''(x)<0 \end{align*}

Car la fonction x↦exx\mapsto e^x est strictement croissante sur R\R

x>0  ⟺  f′′(x)>0\begin{align*} x > 0 \iff f''(x)>0 \end{align*}

Donc f′′f'' change de signe en x=0x = 0.

Ainsi, le point A(0,f(0))A(0, f(0)), c’est-à-dire A(0,1)A(0, 1), est le point d’inflexion de (Cf)(\mathcal{C}_f).

7/a/ FF est une primitive de ff ?

Sot x∈Rx\in\R

F(x)=4ln⁡(ex+1)−xF(x) = 4 \ln(e^x + 1) - x

On a : ex+1>0e^x + 1 > 0 pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}, donc FF est bien définie et dérivable sur R\mathbb{R} (par composition et somme de fonctions dérivables).

F′(x)=4⋅exex+1−1=4ex−(ex+1)ex+1=3ex−1ex+1=f(x)\begin{align*} F'(x) &= 4 \cdot \frac{e^x}{e^x + 1} - 1 \\&= \frac{4e^x - (e^x + 1)}{e^x + 1} \\&= \frac{3e^x - 1}{e^x + 1} \\ &= f(x) \end{align*}

✅ Ainsi, FF est bien une primitive de ff sur R\mathbb{R}.

7/b/ Aire de la partie hachurée

On cherche l’aire sous ff entre x=0x = 0 et x=ln⁡2x = \ln 2 :

A=∫0ln⁡2∣f(x)∣ dx u.a\mathcal{A} = \int_0^{\ln 2} |f(x)| \, dx~u.a

or la courbe (Cf)(\mathcal{C}_f) est située au dessus de l’axe des abscisses sur l’intervalle [0,ln⁡2][0,\ln 2]

donc

∫0ln⁡2∣f(x)∣ dx=∫0ln⁡2f(x) dx=F(ln⁡2)−F(0)\begin{align*} \int_0^{\ln 2} |f(x)| \, dx &= \int_0^{\ln 2} f(x) \, dx \\ &=F(\ln2)-F(0) \end{align*}

On a :

  • F(ln⁡2)=4ln⁡(3)−ln⁡2F(\ln 2) = 4 \ln(3) - \ln 2
  • F(0)=4ln⁡(2)−0=4ln⁡2F(0) = 4 \ln(2) - 0 = 4 \ln 2

Donc :

A=[4ln⁡3−ln⁡2]−4ln⁡2=4ln⁡3−5ln⁡2=(4ln⁡3−5ln⁡2)  u.a.\begin{align*} \mathcal{A} &= [4 \ln 3 - \ln 2] - 4 \ln 2 \\ &= 4 \ln 3 - 5 \ln 2 \\ &=(4 \ln 3 - 5 \ln 2) \; \text{u.a.} \end{align*}