Correction Exercice 3 ECO-2025N

1 $^{re}$ méthode

🔵 Chaque tirage est un arrangement sans répétition de 2 éléments parmi 6
Donc :
$Card(\Omega) = A_{6}^2 = 6 \times 5 = 30$

1/ $\quad p(A)=\dfrac{2}{5}$ ?

$A$ : « Les deux boules tirées sont rouges »

Card(A)=A_4^2=4\times 3=12

\implies p(A)=\dfrac{Card(A)}{Card(\Omega)}=\dfrac{12}{30}=\dfrac{2}{5}

2/ $\quad p(B)=\dfrac{4}{15}$ ?

$B$ : « La première boule tirée est noire et la deuxième est rouge »

Card(B)=A_1^4\times A_2^1=4\times 2=8

\implies p(B)=\dfrac{Card(B)}{Card(\Omega)}=\dfrac{8}{30}=\dfrac{4}{15}

3/ $\quad p(C)=\dfrac{8}{15}$ ?

$C$ : « L’une des boules tirées est noire et l’autre est rouge »

\begin{align*} Card(C) &=2A_1^4\times A_2^1\\&=2\times 4\times 2\\&=16 \end{align*}

\implies p(C)=\dfrac{Card(C)}{Card(\Omega)}=\dfrac{16}{30}=\dfrac{8}{15}

Deux événements $B$ et $C$ sont indépendants si :

p(B \cap C) = p(B) \cdot p(C)

Mais $B \subset C$ , donc :

p(B \cap C) = p(B) = \frac{4}{15}

Et :

p(B) \cdot p(C) = \frac{4}{15} \cdot \frac{8}{15} = \frac{32}{225}

Or :

\frac{32}{225} \ne \frac{4}{15}

Donc $B$ et $C$ ne sont pas indépendants.

A B C ❌

p(A)=\dfrac46\times\dfrac35=\dfrac25

p(B)=\dfrac26\times\dfrac45=\dfrac4{15}

\begin{align*} p(C)&=\dfrac46\times\dfrac25+\dfrac26\times\dfrac45\\ &=\dfrac8{15} \end{align*}

B\cap C=B

p(B)p(C)\ne p(B)

car $p(C)\ne 1$

donc $p(B\cap C)\ne p(B).p(C)$

et donc $A$ et $B$ ne sont pas inépendants