Exercice n°1 : (4 pts)

On considère la suite numérique (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}} définie par : u0=2etun+1=un−22un+5,  n∈Nu_0 = 2 \quad \text{et} \quad u_{n+1} = \dfrac{u_n-2}{2u_n + 5},~~ n \in \mathbb{N}

  1. Calculer u1u_1 et u2u_2

  2. Montrer par récurrence que pour tout nn de N\mathbb{N} : un>−1u_n > -1

  3. On pose : vn=11+unv_n = \dfrac{1}{1 + u_n} pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}

3.a. Calculer v0v_0

3.b. Calculer vn+1−vnv_{n+1}-v_n puis en déduire que (vn)(v_n) est une suite arithmétique de raison 23\dfrac{2}{3}

3.c. Exprimer vnv_n en fonction de nn

3.d. En déduire que un=−2n+22n+1u_n = \dfrac{-2n + 2}{2n + 1}

  1. Calculer lim⁡n→∞un\displaystyle \lim_{n \to \infty} u_n

Correction

Exercice n°2 : (1 pt)

Soit XX une variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée par le tableau ci-dessous.

xix_i 0 1 2
p(X=xi)p(X = x_i) ...... 18\dfrac{1}{8} 38\dfrac{3}{8}

  1. Déterminer p(X=0)p(X = 0)

  2. Calculer E(X)E(X) l’espérance mathématique de la variable aléatoire XX

Correction

Exercice n°3 : (3 pts)

Une urne contient quatre boules rouges et deux boules noires. Toutes les boules sont indiscernables au toucher.

On tire au hasard successivement et sans remise deux boules de l’urne.

On considère les trois événements suivants :

  • AA : « Les deux boules tirées sont rouges »
  • BB : « La première boule tirée est noire et la deuxième est rouge »
  • CC : « L’une des boules tirées est noire et l’autre est rouge »

  1. Montrer que : p(A)=25p(A) = \dfrac{2}{5}

  2. Montrer que : p(B)=415p(B) = \dfrac{4}{15}

  3. Montrer que : p(C)=815p(C) = \dfrac{8}{15}

  4. Les événements BB et CC sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.

Correction

Exercice n°4 : (12 pts)

On considère la fonction numérique ff définie sur R\mathbb{R} par :

f(x)=3ex−1ex+1f(x) = \dfrac{3e^x - 1}{e^x + 1}

et soit (Cf)(\mathcal{C}_f) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;i⃗,j⃗)(O ; \vec{i}, \vec{j}).

  1. Justifier que lim⁡x→−∞f(x)=−1\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = -1, puis donner une interprétation géométrique du résultat.

2.a. Vérifier que f(x)=3−4ex+1f(x) = 3-\dfrac{4}{e^{x}+1} pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}.

2.b. Montrer que lim⁡x→+∞f(x)=3\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = 3, puis donner une interprétation géométrique du résultat.

3.a. Montrer que :

f′(x)=4ex(ex+1)2f'(x) = \dfrac{4e^x}{(e^x + 1)^2}

pour tout xx de R\R

3.b. Donner le signe de f′(x)f'(x) pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}.

3.c. Dresser le tableau de variations de ff.

4.a. Calculer f(−ln⁡3)f(-\ln 3)

4.b. Déterminer l’image de l’intervalle [−ln⁡3 ; 0][-\ln 3\, ;\, 0] par la fonction ff.

  1. Déterminer l’équation de la tangente à (Cf)(\mathcal{C}_f) au point d’abscisse x0=0x_0 = 0.

6.a. Montrer que :

f′′(x)=4ex(1−ex)(ex+1)3f''(x) = \dfrac{4e^x(1 - e^x)}{(e^x + 1)^3}

pour tout xx de R\R

6.b. En déduire que (Cf)(\mathcal{C}_f) admet un point d’inflexion dont on déterminera les coordonnées.

  1. Soit FF la fonction numérique définie sur R\mathbb{R} par :
F(x)=4ln⁡(ex+1)−xF(x) = 4 \ln(e^x + 1) - x

7.a. Montrer que la fonction FF est une primitive de ff sur R\mathbb{R}.

7.b. Dans la figure ci-dessous, (Cf)(\mathcal{C}_f) est la courbe représentative de ff dans (O;i⃗,j⃗)(O ; \vec{i}, \vec{j}).

Montrer que l’aire du domaine limité par la courbe (Cf)(\mathcal{C}_f), l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équation x=ln⁡2x = \ln 2 (la partie hachurée) est égale à :

(4ln⁡3−5ln⁡2) u.a(4 \ln 3 - 5 \ln 2) \, \text{u.a}
xydvisvgm:rawset 3dvisvgm:rawdefdvisvgm:rawput 3ln2−1123−2−112(Cf)

Correction