A=(−1−10−1−10−11−2)A = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & -2 \end{pmatrix}

M(x)=I+xAM(x) = I + xA pour tout x∈Rx \in \mathbb{R} où II la matrice identité de M3(R)M_3(\R)

1/a/ A2=−2A\quad A^2 = -2A ?

A2=A×A=(−1−10−1−10−11−2)⋅(−1−10−1−10−11−2)=(2202202−24)=−2(−1−10−1−10−11−2)=−2A\begin{align*} A^2 &= A \times A\\ &= \begin{pmatrix} -1 & -1 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 & -1 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & -2 \end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 2 & -2 & 4 \end{pmatrix}\\ &=-2\begin{pmatrix} -1 & -1 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & -2 \end{pmatrix} =-2A \end{align*}

1/b/ M(x).M(y)=M(x+y−2xy)\quad M(x) . M(y) = M(x + y - 2xy) ?

On a :

M(x)=I+xA,M(y)=I+yAM(x) = I + xA,\quad M(y) = I + yA

Donc

M(x)M(y)=(I+xA)(I+yA)=I2+yI.A+xA.I+xyA2=I+yA+xA+xyA2=I+xA+yA+xy(−2A)=I+(x+y−2xy)A\begin{align*} M(x)M(y) &= (I + xA)(I + yA) \\&= I^2 + yI.A + xA.I + xyA^2 \\&=I+yA+xA+xyA^2\\ &=I+xA+yA+xy(-2A) \\ &=I+(x+y-2xy)A \end{align*}

Car

  • I2=II^2=I
  • I.A=A.I=AI.A=A.I=A
  • et A2=−2AA^2=-2A

2/a/ M(12)×(000000001)\quad M(\frac12)\times \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ?

M(12)=I+12AM(\frac12)=I+\frac12A

on a

I=(100010001)I= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

et

12A=(−12−120 −12−120 −1212−1)\frac12A=\begin{pmatrix} -\frac12 & -\frac12 & 0 \\~\\ -\frac12 & -\frac12 & 0 \\~\\ -\frac12 & \frac12 & -1 \end{pmatrix}

Donc

M(12)=(12−120−12120−12120)M\left(\frac12\right)= \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}

Alors

M(12)×(000000001)=OM\left(\frac12\right) \times \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = O

2/b/ M(12)\quad M(\frac12) n’est pas inversible ?

Posons R=(000000001)R=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Si M(12)M(\frac12) est inversible alors il existe une matrice PP tel que P.M(12)=IP.M(\frac12)=I

et on a M(12).R=O  ⟹  P.M(12).R=P.O  ⟹  R=O M(\frac12).R=O \implies P.M(\frac12).R=P.O \implies R=O absurde car R≠OR\ne O

3/

Rapel : un ensemble SS est stable par une loi de composition interne ∗* si pour tous x,y∈Sx,y\in S on a x∗y∈Sx*y\in S

On a d’après la question 1.b :

M(x)⋅M(y)=M(x+y−2xy)M(x) \cdot M(y) = M(x + y - 2xy)

Donc M(x)⋅M(y)∈EM(x) \cdot M(y) \in E

Supposons que M(x)∈E∖{M(12)}M(x) \in E \setminus \left\{ M\left( \frac{1}{2} \right) \right\} et
M(y)∈E∖{M(12)}M(y) \in E \setminus \left\{ M\left( \frac{1}{2} \right) \right\}

Alors x≠12x \ne \frac{1}{2} et y≠12y \ne \frac{1}{2}

x+y−2xy=12  ⟺  x+y−2xy−12=0  ⟺  −12(x+y−2xy−12)=0  ⟺  (x−12)(y−12)=0  ⟺  x=12ouy=12\begin{align*} &x + y - 2xy = \frac{1}{2} \\ &\iff x + y - 2xy - \frac{1}{2} = 0 \\ &\iff -\frac{1}{2}(x + y - 2xy - \frac{1}{2}) = 0 \\ &\iff (x - \frac{1}{2})(y - \frac{1}{2}) = 0 \\ &\iff x = \frac{1}{2} \quad \text{ou} \quad y = \frac{1}{2} \end{align*}

Par contraposée :

x≠12 et y≠12⇒x+y−2xy≠12x \ne \frac{1}{2} \text{ et } y \ne \frac{1}{2} \Rightarrow x + y - 2xy \ne \frac{1}{2}

Donc :

M(x+y−2xy)∈E∖{M(12)}M(x + y - 2xy) \in E \setminus \left\{ M\left( \frac{1}{2} \right) \right\}

Autrement dit :

M(x)⋅M(y)∈E∖{M(12)}M(x) \cdot M(y) \in E \setminus \left\{ M\left( \frac{1}{2} \right) \right\}

Donc l’ensemble E∖{M(12)}E \setminus \{ M(\tfrac{1}{2})\} est stable par multiplication.

4/ (E−{M(12)},×)\quad\left( E - \left\{ M\left( \frac{1}{2} \right) \right\}, \times \right) est un groupe commutatif ?

On pose :

G=E∖{M(12)}G = E \setminus \left\{ M\left( \tfrac{1}{2} \right) \right\}
🔹 Stabilité

D’après la question 3/b, on a : GG est stable par la multiplication.

🔹 Commutativité
M(x)⋅M(y)=M(x+y−2xy)=M(y+x−2yx)=M(y)⋅M(x)\begin{align*} M(x) \cdot M(y) &= M(x + y - 2xy) \\ &= M(y + x - 2yx) \\ &= M(y) \cdot M(x) \end{align*}

Donc la loi est commutative.

🔹 Associativité

On a :

M(x)⋅(M(y)⋅M(z))=M(x)⋅M(y+z−2yz)=M(x+y+z−2xy−2xz+4xyz)\begin{align*} &M(x) \cdot (M(y) \cdot M(z)) \\&= M(x) \cdot M(y + z - 2yz) \\&= M(x + y + z - 2xy - 2xz + 4xyz) \end{align*}

et :

(M(x)⋅M(y))⋅M(z)=M(x+y−2xy)⋅M(z)=M(x+y+z−2xy−2xz+4xyz)\begin{align*} &(M(x) \cdot M(y)) \cdot M(z) \\ &= M(x + y - 2xy) \cdot M(z) \\ &= M(x + y + z - 2xy - 2xz + 4xyz) \end{align*}

Donc :

M(x)⋅(M(y)⋅M(z))=(M(x)⋅M(y))⋅M(z)M(x) \cdot (M(y) \cdot M(z)) = (M(x) \cdot M(y)) \cdot M(z)

La loi est associative.

🔹 Élément neutre
M(0)=I∈GM(0) = I \in G

et

M(x)⋅I=I⋅M(x)=M(x)M(x) \cdot I = I \cdot M(x) = M(x)

Donc M(0)M(0) est l’élément neutre.

🔹 Inverses

Soit M(x)∈GM(x) \in G.

M(x)⋅M(y)=I⇒x+y−2xy=0⇒y=x2x−1\begin{align*} M(x) \cdot M(y) = I &\Rightarrow x + y - 2xy = 0 \\&\Rightarrow y = \frac{x}{2x - 1} \end{align*}

Si y≠12y \ne \tfrac{1}{2} alors :

x2x−1=12⇒2x=2x−1⇒0=−1\begin{align*} \frac{x}{2x - 1} = \tfrac{1}{2} &\Rightarrow 2x = 2x - 1\\& \Rightarrow 0 = -1 \end{align*}

Contradiction.

Donc M(y)∈GM(y) \in G est l’inverse de M(x)M(x).

✅ Conclusion

L’ensemble :

G=E∖{M(12)}G = E \setminus \left\{ M\left( \tfrac{1}{2} \right) \right\}

muni de la multiplication matricielle est un groupe commutatif

5/

∀(x,y)∈R2:M(x) T M(y)=M(x+y−12) \forall (x, y) \in \mathbb{R}^2 : M(x) \, T \, M(y) = M\left( x + y - \frac{1}{2} \right)
∀x∈R:φ(x)=M(1−x2) \forall x \in \mathbb{R} : \varphi(x) = M\left( \frac{1 - x}{2} \right)

5/a/ φ\varphi est un homomorphisme de (R,+)(\mathbb{R}, +) vers (E,T)(E, T) et que φ(R)=E\varphi(\mathbb{R}) = E.

φ(x+y)=M(1−x−y2)\varphi(x+y)=M(\frac{1-x-y}2)
φ(x)Tφ(y)=M(1−x2)TM(1−y2)=M(1−x2+1−y2−12)=M(1−x−y2)\begin{align*} \varphi(x)T\varphi(y) &= M\left( \frac{1 - x}{2} \right)TM\left( \frac{1 - y}{2} \right)\\ &=M\left( \frac{1 - x}{2}+\frac{1 - y}{2} -\frac12\right) \\&=M\left( \frac{1 - x-y}{2}\right) \end{align*}

Donc

φ(x+y)=φ(x)Tφ(y)\varphi(x+y)=\varphi(x)T\varphi(y)

  ⟹  φ\implies \varphi est un homomorphisme de (R,+)(\mathbb{R}, +) vers (E,T)(E, T)

Soit x∈Rx \in \mathbb{R}, alors :

on a : φ(x)=M(1−x2)\varphi(x)=M(\tfrac{1 - x}{2})

  • Pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}, on a 1−x2∈R\frac{1 - x}{2} \in \mathbb{R} donc φ(x)∈E⇒φ(R)⊂E\varphi(x) \in E \Rightarrow \varphi(\mathbb{R}) \subset E.

  • Soit M(x)∈EM(x) \in E, avec x∈Rx \in \mathbb{R} Posons a=1−2x⇒x=1−a2a = 1 - 2x \Rightarrow x = \frac{1 - a}{2}.
    Donc M(x)=M(1−a2)=φ(a)∈φ(R)⇒E⊂φ(R)M(x) = M\left( \frac{1 - a}{2} \right) = \varphi(a) \in \varphi(\mathbb{R}) \Rightarrow E \subset \varphi(\mathbb{R}).

Conclusion :

φ(R)=E\varphi(\mathbb{R}) = E

5/b (E,T)\quad (E, T) est-il un groupe commutatif ?

  • (R,+)(\mathbb{R}, +) est un groupe commutatif

  • φ\varphi est un homomorphisme surjectif de (R,+)(\mathbb{R}, +) vers (E,T)(E, T) car φ(R)=E\varphi(\mathbb{R}) = E

  • L’image d’un groupe commutatif par un homomorphisme surjectif est un groupe commutatif

    Donc : (E,T)(E, T) est un groupe commutatif

6/

(E,T,×)(E, T, \times) est un corps si :

  • (E,T)(E,T) est un groupe commutatif (vu en 5/b/)

  • (E∖{M(12)},×)(E \setminus \{M(\frac12)\},\times) est un groupe commutatif (vu en 4/)

  • La loi ×\times est distributive pa rapport à la loi TT

Don il reste à démontrer la distributivité

montrons que

M(x)×(M(y)TM(z))=[M(x)×M(y)]T[M(x)×M(z)]M(x)\times(M(y)TM(z))=[M(x)\times M(y)]T[M(x)\times M(z)]

Soient x,y,z∈Rx, y, z \in \mathbb{R}. On veut montrer que :

M(x)×(M(y) T M(z))=(M(x)×M(y)) T (M(x)×M(z))M(x) \times (M(y) \, T \, M(z)) = (M(x) \times M(y)) \, T \, (M(x) \times M(z))

On a par définition de TT :

M(y) T M(z)=M(y+z−12)M(y) \, T \, M(z) = M(y + z - \tfrac{1}{2})

Donc :

M(x)×M(y+z−12)=M(x+y+z−12−2x(y+z−12))M(x) \times M(y + z - \tfrac{1}{2}) = M\left(x + y + z - \tfrac{1}{2} - 2x(y + z - \tfrac{1}{2})\right)

Développons :

=M(x+y+z−12−2xy−2xz+x)=M(2x+y+z−2xy−2xz−12)= M\left(x + y + z - \tfrac{1}{2} - 2xy - 2xz + x\right) = M\left(2x + y + z - 2xy - 2xz - \tfrac{1}{2} \right)

De l’autre côté :

(M(x)×M(y)) T (M(x)×M(z))=M(x+y−2xy) T M(x+z−2xz)(M(x) \times M(y)) \, T \, (M(x) \times M(z)) = M(x + y - 2xy) \, T \, M(x + z - 2xz)
=M((x+y−2xy)+(x+z−2xz)−12)=M(2x+y+z−2xy−2xz−12)= M\left((x + y - 2xy) + (x + z - 2xz) - \tfrac{1}{2}\right) = M\left(2x + y + z - 2xy - 2xz - \tfrac{1}{2} \right)

Les deux membres sont égaux.