الامتحان الوطني الموحد للبكالوريا – الدورة العادية – 2025 للموضوع

  • مادة: الرياضيات
  • شعبة العلوم الرياضية (أ) و (ب) (خيار فرنسية)
  • مدة الإنجاز : 4 ساعات

EXERCICE1 : (10 points)

On considère la fonction numérique ff définie sur R\mathbb{R} par :

f(x)=exe2x+ef(x) = \frac{e^x}{e^{2x} + e}

et soit (Γ)(\Gamma) sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O,i⃗,j⃗)\left( O,\vec{i},\vec{j} \right).

Partie I :

1- a) Montrer que: (∀x∈R)(\forall x \in \mathbb{R}) ; f(1−x)=f(x)f(1-x) = f(x)
b) Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
c) Calculer lim⁡x→−∞f(x)\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) puis en déduire lim⁡x→+∞f(x)\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)
d) Interpréter graphiquement les deux résultats obtenus.

2- a) Montrer que: (∀x∈R)(\forall x \in \mathbb{R}) ; f′(x)=f(x)1−e2x−11+e2x−1f'(x) = f(x) \dfrac{1 - e^{2x - 1}}{1 + e^{2x - 1}}
b) Donner les variations de ff puis en déduire que :

(∀x∈R);0<f(x)<12(\forall x \in \mathbb{R}) \quad ; \quad 0 < f(x) < \frac{1}{2}

3- Représenter graphiquement la courbe (Γ)(\Gamma).
(On prendra ∥i⃗∥=1cm\| \vec{i} \| = 1 \text{cm}, ∥j⃗∥=2cm\| \vec{j} \| = 2 \text{cm} et 12e≈0.30\frac{1}{2\sqrt{e}} \approx 0.30 et 11+e≈0.27\frac{1}{1+e} \approx 0.27)

4- a) Montrer que: ∫012f(x)dx=∫121f(x)dx\int_0^{\frac{1}{2}} f(x) dx = \int_{\frac{1}{2}}^{1} f(x) dx
b) En déduire que ∫01f(x)dx=2∫012f(x)dx\int_0^1 f(x) dx = 2 \int_0^{\frac{1}{2}} f(x) dx

5- a) En effectuant le changement de variables : t=ext = e^x, montrer que :

∫012f(x)dx=∫1edtt2+e\int_0^{\frac{1}{2}} f(x) dx = \int_1^{\sqrt{e}} \frac{dt}{t^2 + e}

b) Montrer que : ∫012f(x)dx=1e[arctan⁡(e)−π4]\int_0^{\frac{1}{2}} f(x) dx = \frac{1}{\sqrt{e}}\left[\arctan \left( \sqrt{e}\right) - \frac{\pi}{4} \right]
c) En déduire l’aire, en cm², du domaine plan définité par (Γ)(\Gamma), les droites d’équations respectives : x=0x = 0, x=1x = 1 et y=0y = 0

Partie II :

On considère la suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}} définie par : u0∈[0;12]u_0 \in \left[ 0; \frac{1}{2} \right] et (∀n∈N)(\forall n \in \mathbb{N}) ; un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n)

1- En utilisant le résultat de la question I.2-a), montrer que :
(∀x∈R);∣f′(x)∣≤f(x)(\forall x \in \mathbb{R}) \quad ; \quad |f'(x)| \leq f(x)

2- a) Montrer que : (∀x∈[0;12]);0≤f′(x)<12(\forall x \in \left[ 0; \frac{1}{2} \right]) \quad ; \quad 0 \leq f'(x) < \frac{1}{2}

b) Montrer que la fonction g:x↦g(x)=f(x)−xg : x \mapsto g(x) = f(x) - x est strictement décroissante sur R\mathbb{R}
c) En déduire qu’il existe un unique réel α∈]0;12[\alpha \in \left] 0; \frac{1}{2} \right[ tel que : f(α)=αf(\alpha) = \alpha

3- a) Montrer que : (∀n∈N);0<un<12(\forall n \in \mathbb{N}) \quad ; \quad 0 < u_n < \frac{1}{2}
b) Montrer que : (∀n∈N);∣un+1−α∣≤12∣un−α∣(\forall n \in \mathbb{N}) \quad ; \quad |u_{n+1} - \alpha| \leq \frac{1}{2} |u_n - \alpha|
c) Montrer par récurrence que : (∀n∈N);∣un−α∣≤(12)n+1(\forall n \in \mathbb{N}) \quad ; \quad |u_n - \alpha| \leq \left( \frac{1}{2} \right)^{n+1}
d) En déduire que la suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}} converge vers α\alpha

Partie III :

On considère la suite numérique (Sn)n∈N(S_n)_{n \in \mathbb{N}} définie par :

(∀n∈N∗);Sn=1n(n+1)∑k=1k=nkekn+e−n−kn(\forall n \in \mathbb{N}^*) \quad ; \quad S_n = \frac{1}{n(n+1)} \sum_{k=1}^{k=n} \frac{k}{e^{\frac kn} + e^{-\frac{n-k}{n}}}

1-a) Vérifier que : (∀n∈N∗); (\forall n \in \mathbb{N}^*) \quad ;

Sn=1n+1∑k=1k=nknf(kn)S_n = \frac{1}{n+1} \sum_{k=1}^{k=n} \frac{k}{n} f\left( \frac{k}{n} \right)

b) Montrer que : ∫01xf(x)dx=∫012f(x)dx\int_0^1 x f(x) dx = \int_0^{\frac{1}{2}} f(x) dx
(On pourra effectuer le changement de variables : t=1−xt = 1 - x)

2- Montrer que la suite (Sn)n∈N(S_n)_{n \in \mathbb{N}} est convergente et déterminer sa limite.

Correction

EXERCICE2 : (3.5 points)

Soit α∈[0;2π]\alpha \in [0; 2\pi]

On considère dans l’ensemble des nombres complexes C\mathbb{C} l’équation (Eα)(E_\alpha) d’inconnue zz :

(Eα);z2−2αeiα(1+2i)z+i22α+1ei2α=0(E_\alpha) \quad ; \quad z^2 - 2^\alpha e^{i\alpha} (1 + 2i) z + i2^{2\alpha + 1} e^{i2\alpha} = 0

Partie I :

1- a) Vérifier que le discriminant de l’équation (Eα)(E_\alpha) est : Δα=(2αeiα(1−2i))2\Delta_\alpha = \left( 2^\alpha e^{i\alpha} (1 - 2i) \right)^2
b) En déduire les deux solutions aa et bb de l’équation (Eα)(E_\alpha) avec ∣a∣<∣b∣|a| < |b|

2- Vérifier que ba\frac{b}{a} est un imaginaire pur.

Partie II :

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O,u⃗,v⃗)(O, \vec{u}, \vec{v}).

On note par M(z)M(z) le point d’affixe le nombre complexe zz.

On pose ba=λi\frac{b}{a} = \lambda i avec λ=Im(ba)\lambda = \text{Im} \left( \frac{b}{a} \right).

1- On considère les points A(a)A(a), B(b)B(b) et H(h)H(h) avec 1h=1a+1b\frac{1}{h} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}.

a) Montrer que hb−a=−(λλ2+1)i\frac{h}{b-a} = - \left( \frac{\lambda}{\lambda^2 + 1} \right)i puis en déduire que les droites (OH)(OH) et (AB)(AB) sont perpendiculaires.

b) Montrer que h−ab−a=1λ2+1\frac{h-a}{b-a} = \frac{1}{\lambda^2 + 1} puis en déduire que les points H,AH, A et BB sont alignés.

2- Soient I(m)I(m) le milieu du segment [OH][OH] et J(n)J(n) le milieu du segment [HB][HB].

a) Montrer que nm−a=−λi\frac{n}{m-a} = -\lambda i.

b) En déduire que les droites (OJ)(OJ) et (AI)(AI) sont perpendiculaires et que OJ=∣λ∣AIOJ = |\lambda| AI.

c) Soit KK le point d’intersection des droites (OJ)(OJ) et (AI)(AI). Montrer que les points K,I,HK, I, H et JJ sont cocycliques.

d) Montrer que les droites (IJ)(IJ) et (OA)(OA) sont perpendiculaires.

Correction

EXERCICE 3 : (3 points)

Soient pp un nombre premier impair et aa un entier premier avec pp.

1- Montrer que ap−12≡1[p]a^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1 \left[ p \right] ou ap−12≡−1[p]a^{\frac{p-1}{2}} \equiv -1 \left[ p \right].

2- On considère dans Z\mathbb{Z} l’équation : ax2≡1[p]a x^2 \equiv 1 \left[ p \right]. Soit x0x_0 une solution de cette équation.

a) Montrer que x0p−1≡1[p]x_0^{p-1} \equiv 1 \left[ p \right].

b) En déduire que ap−12≡1[p]a^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1 \left[ p \right].

3- Soit nn un entier naturel non nul.

a) Montrer que si pp divise 22n+1−12^{2n+1} - 1 alors 2p−12≡1[p]2^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1 \left[ p \right].

b) En déduire que l’équation (E):11x+(22n+1−1)y=1(E) : 11x + (2^{2n+1} - 1)y = 1 admet au moins une solution dans Z2\mathbb{Z}^2.

4- On considère dans Z\mathbb{Z} l’équation (F):x2+5x+2≡0[11](F) : x^2 + 5x + 2 \equiv 0 \left[ 11 \right].

a) Montrer que (F)⇔2(2x+5)2≡1[11](F) \Leftrightarrow 2(2x + 5)^2 \equiv 1 \left[ 11 \right].

b) En déduire que l’équation (F)(F) n’admet pas de solution dans Z\mathbb{Z}.

Correction

EXERCICE 4 : (3.5 points)

On rappelle que (M3(R),+,×)(M_3(\mathbb{R}), +, \times) est un anneau unitaire et non commutatif de zéro la matrice :

O=(000000000) O = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

et d’unité la matrice :

I=(100010001), I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},

et que (M3(R),+,⋅)(M_3(\mathbb{R}), +, \cdot) est un espace vectoriel réel.

Soient la matrice :

A=(−1−10−1−10−11−2) A = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & -2 \end{pmatrix}

et l’ensemble :

E={M(x)=I+xA∣x∈R} E = \{ M(x) = I + xA \mid x \in \mathbb{R} \}
  1. a) Vérifier que : A2=−2AA^2 = -2A

b) En déduire que : ∀(x,y)∈R2\forall (x, y) \in \mathbb{R}^2, M(x)×M(y)=M(x+y−2xy)M(x) \times M(y) = M(x + y - 2xy)

  1. a) Calculer M(12)×(000000001)M\left( \frac{1}{2} \right) \times \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

b) En déduire que la matrice M(12)M\left( \frac{1}{2} \right) n’est pas inversible dans (M3(R),×)(M_3(\mathbb{R}), \times)

  1. Montrer que E−{M(12)}E - \left\{ M\left( \frac{1}{2} \right) \right\} est stable pour la multiplication dans M3(R)M_3(\mathbb{R}).

(On pourra utiliser l’identité : (x−12)(y−12)=−12(x+y−2xy−12)\left( x - \frac{1}{2} \right) \left( y - \frac{1}{2} \right) = -\frac{1}{2} \left( x + y - 2xy - \frac{1}{2} \right))

  1. Montrer que (E−{M(12)},×)\left( E - \left\{ M\left( \frac{1}{2} \right) \right\}, \times \right) est un groupe commutatif.

  2. On munit EE de la loi de composition interne TT définie par :

∀(x,y)∈R2:M(x) T M(y)=M(x+y−12) \forall (x, y) \in \mathbb{R}^2 : M(x) \, T \, M(y) = M\left( x + y - \frac{1}{2} \right)

et on considère l’application φ\varphi définie de R\mathbb{R} vers EE par :

∀x∈R:φ(x)=M(1−x2) \forall x \in \mathbb{R} : \varphi(x) = M\left( \frac{1 - x}{2} \right)

a) Montrer que φ\varphi est un homomorphisme de (R,+)(\mathbb{R}, +) vers (E,T)(E, T) et que φ(R)=E\varphi(\mathbb{R}) = E.
b) En déduire que (E,T)(E, T) est un groupe commutatif.

  1. Montrer que (E,T,×)(E, T, \times) est un corps commutatif.

Correction

FIN

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