Direction provinciale de Sidi Kacem

Collège Ibn Bassal

Durée : 2h

Exercice 1

  1. Calculer :

    81\sqrt{81} ; (35)2(3\sqrt{5})^2 ; (23)−2\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{-2} ; 29+19\sqrt{2\sqrt{9}+19}

  2. Simplifie sous la forme aba\sqrt{b} : A=18+32+2A=\sqrt{18}+\sqrt{32}+\sqrt{2}

  3. Ecrire sans radical au dénominateur:

       311   \ \ \ \dfrac{3}{\sqrt{11}}\ \ \ ;    13+1\ \ \ \dfrac{1}{\sqrt{3}+1}

  4. aa et bb deux nombres réels tels que : a=36×102a=36\times10^2 et b=0,2×105b=0,2\times10^5

    1. Montrer que : ab=18×10−2\dfrac{a}{b}=18\times10^{-2}

    2. Donner l’écriture scientifique de ab\dfrac{a}{b}

  5. Soit C=x2−3+(x+2)(x−3)C=x^2-3+(x+2)(x-\sqrt{3})

    1. Factorise: x2−3x^2-3

    2. En déduire une factorisation de CC

    • 81=92=9\sqrt{81}=\sqrt{9^2}=9

    • (35)2=32×52=9×5=45(3\sqrt{5})^2=3^2\times\sqrt{5}^2=9\times5=45

    • (23)−2=(32)2=3222=34\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{-2}=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=\dfrac{\sqrt{3}^2}{2^2}=\dfrac{3}{4}

    • 29+19=232+19=2×3+19=25=52=5\sqrt{2\sqrt{9}+19}=\sqrt{2\sqrt{3^2}+19}=\sqrt{2\times3+19}=\sqrt{25}=\sqrt{5^2}=5

  2. A=18+32+2A=\sqrt{18}+\sqrt{32}+\sqrt{2}
       =2×32+2×42+2\ \ \ =\sqrt{2\times3^2}+\sqrt{2\times4^2}+\sqrt{2}
       =32+42+2\ \ \ =3\sqrt{2}+4\sqrt{2}+\sqrt{2}
       =(3+4+1)2\ \ \ =(3+4+1)\sqrt{2}
       =82\ \ \ =8\sqrt{2}

  3. 311=3×1111×11=31111\dfrac{3}{\sqrt{11}}=\dfrac{3\times\sqrt{11}}{\sqrt{11}\times\sqrt{11}}=\dfrac{3\sqrt{11}}{11}
    13+1=1×(3−1)(3+1)(3−1)=3−132−12=3−12\dfrac{1}{\sqrt{3}+1}=\dfrac{1\times(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}^2-1^2}=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}

    1. b=0,2×105=2×10−1×105=2×104b=0,2\times10^5=2\times10^{-1}\times10^5=2\times10^4
      donc :
      ab=36×1022×104\dfrac{a}{b}=\dfrac{36\times10^2}{2\times10^4}
         =362×102104\ \ \ =\dfrac{36}{2}\times\dfrac{10^2}{10^4}
         =18×102−4\ \ \ =18\times10^{2-4}
         =18×10−2\ \ \ =18\times10^{-2}

    2. l’écriture scientifique de ab\dfrac{a}{b} est :

      3. ab=18×10−2\dfrac{a}{b}=18\times10^{-2}
         =1,8×101×10−2\ \ \ =1,8\times10^{1}\times10^{-2}
         =1,8×101−2\ \ \ =1,8\times10^{1-2}
         =1,8×10−1\ \ \ =1,8\times10^{-1}

Exercice 2

  1. Comparer les nombres 252\sqrt{5} et 21\sqrt{21}

  2. Sachant que : 2,2≤5≤2,32,2\le\sqrt{5}\le2,3 et 1,4≤2≤1,51,4\le\sqrt{2}\le1,5

    3. Encadrer 5+2\sqrt{5}+\sqrt{2} et 10\sqrt{10}

  3. xx est un nombre réel tel que : 3≤x≤63\le x\le6

    4. Encadrer x3−2\dfrac{x}{3}-2

  1. On a :

    • (25)2=22×52(2\sqrt{5})^2=2^2\times\sqrt{5}^2

      •                     =4×5\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 4\times5
                          =20\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =20

    • 212=21\sqrt{21}^2=21

    comme   21≥20\ \ 21\ge20

    alors (25)2≥212(2\sqrt{5})^2\ge\sqrt{21}^2
    d’ou : 25≥212\sqrt{5}\ge\sqrt{21}

  2. Pour : 5+2\sqrt{5}+\sqrt{2}
    On a :     2,2≤5≤2,3\ \ \ \ 2,2\le\sqrt{5}\le2,3
                    1,4≤2≤1,5\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1,4\le\sqrt{2}\le1,5
    Donc :
        2,2+1,4≤5+2≤1,5+2,3\ \ \ \ 2,2+1,4\le\sqrt{5}+\sqrt{2}\le1,5+2,3
    d’ou :     3,6≤5+2≤3,8\ \ \ \ 3,6\le\sqrt{5}+\sqrt{2}\le3,8

    Pour : 5×2\sqrt{5}\times\sqrt{2}
    On a :     2,2≤5≤2,3\ \ \ \ 2,2\le\sqrt{5}\le2,3
                    1,4≤2≤1,5\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1,4\le\sqrt{2}\le1,5
    Donc :

        2,2×1,4≤5×2≤1,5×2,3\ \ \ \ 2,2\times1,4\le\sqrt{5}\times\sqrt{2}\le1,5\times2,3
    d’ou :     3,08≤10≤3,45\ \ \ \ 3,08\le\sqrt{10}\le3,45

  3. On a :     3≤x≤6\ \ \ \ 3\le x\le6
                   33≤x3≤63\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \dfrac{3}{3}\le\dfrac{x}{3}\le\dfrac{6}{3}
                   1≤x3≤2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1\le\dfrac{x}{3}\le2
                   1−2≤x3−2≤2−2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1-2\le\dfrac{x}{3}-2\le2-2
                   −1≤x3−2≤0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -1\le\dfrac{x}{3}-2\le0

Exercice 3

ABC un triangle tel que : AB=5AB=\sqrt{5} , AC=2AC=2 et BC=3BC=3.

  1. Montrer que le triangle ABCABC est rectangle.

  2. Calculer : sinB^sin\widehat{B} , cosB^cos\widehat{B} et tanB^tan\widehat{B}

  3. xx mesure d’un angle aigu non nul tel que : sin(x)=53sin(x)=\dfrac{\sqrt{5}}{3}

    4. Calculer cos(x)cos(x) et tan(x)tan(x)

  4. Simplifier :

    A=(cos(x)+sin(x))2+(cos(x)−sin(x))2A=(cos(x)+sin(x))^2+(cos(x)-sin(x))^2

  1. On a :

    AB2=52=5AB^2=\sqrt{5}^2=5
    AC2=22=4AC^2=2^2=4
    BC2=32=9BC^2=3^2=9
    donc : AB2+AC2=5+4=9=BC2AB^2+AC^2=5+4=9=BC^2
    d’ou : d’aprés le théorème du Phytagre (Réciproque) : ABC est un triangle rectangle en A.

  2. A
    B
    C
    3
    2

    5\sqrt{5}

    • cos(B^)=BABC=53cos(\hat{B})=\dfrac{BA}{BC}=\dfrac{\sqrt{5}}{3}

    • sin(B^)=ACBC=23sin(\hat{B})=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{2}{3}

    • tan(B^)=ACAB=25tan(\hat{B})=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}

  3. On sait que :

    cos2(x)+sin2(x)=1cos^2(x)+sin^2(x)=1
    donc : cos2(x)=1−sin2(x)cos^2(x)=1-sin^2(x)
    cos2(x)=1−(53)2cos^2(x)=1-(\dfrac{\sqrt{5}}{3})^2
    cos2(x)=1−5232cos^2(x)=1-\dfrac{\sqrt{5}^2}{3^2}
    cos2(x)=1−59cos^2(x)=1-\dfrac{5}{9}
    cos2(x)=9−59cos^2(x)=\dfrac{9-5}{9}
    cos2(x)=49cos^2(x)=\dfrac{4}{9}
    donc : cos(x)=49=23cos(x)=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}

    On sait que : tan(x)=sin(x)cos(x)tan(x)=\dfrac{sin(x)}{cos(x)}

    Donc :
    tan(x)=5323=52tan(x)=\dfrac{\dfrac{\sqrt{5}}{3}}{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}

  4. A=(cos(x)+sin(x))2+(cos(x)−sin(x))2A=(cos(x)+sin(x))^2+(cos(x)-sin(x))^2
       =cos2(x)+2.cos(x).sin(x)+sin2(x)+cos2(x)−2.cos(x).sin(x)+sin2(x)\ \ \ =cos^2(x)+2.cos(x).sin(x)+sin^2(x)+cos^2(x)-2.cos(x).sin(x)+sin^2(x)
       =2(cos2(x)+sin2(x))\ \ \ =2(cos^2(x)+sin^2(x))
       =2\ \ \ =2

Exercice 4

ABc triangle rectangle en A tel que : AB=8 cmAB=8\ cm et AC=4 cmAC=4\ cm

  1. Montrer que : BC=45 cmBC=4\sqrt{5}\ cm

  2. E est un point de [AB] tel que BE=6 cmBE=6\ cm. La parallèle à (AC) passant par E coupe (BC) en F.

    3. Calculer EFEF et BFBF.

  3. GG est un point de (EF) tel que EG=1 cm

    4. Montrer que : (AG)//(BF)(AG)//(BF)

  1. On a le triangle ABC est rectangle en A
    Donc D’aprés le théorème de Phytagre:
    BC2 =AB2+AC2BC^2\ =AB^2+AC^2
            =82+42\ \ \ \ \ \ \ \ =8^2+4^2
            =64+16\ \ \ \ \ \ \ \ =64+16
            =80\ \ \ \ \ \ \ \ =80
    Donc :
    BC=80BC=\sqrt{80}
          =5×42\ \ \ \ \ \ =\sqrt{5\times4^2}
          =45 cm\ \ \ \ \ \ =4\sqrt{5}\ cm

Exercice 5

AA, BB, CC et DD quatre points d’un cercle de centre O tel que : BAC^=47°\widehat{BAC}=47°.

O
A
B
C
D
47°

Calculer la mesure des angles : BOC^\widehat{BOC} et BDC^\widehat{BDC} Justifie

L’angle au centre BOC^\widehat{BOC} et l’angle inscrit BAC^\widehat{BAC}

interceptent même arc BC⌢\overset{\huge\frown}{BC}

Donc : BOC^=2BAC^\widehat{BOC}=2\widehat{BAC}

                       =2×47\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =2\times47

                       =94°\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =94°

Les angles inscrits BDC^\widehat{BDC} et BAC^\widehat{BAC} interceptent le même arc BC⌢\overset{\huge\frown}{BC}

Alors : BDC^=BAC^=47°\widehat{BDC}=\widehat{BAC}=47°