إنشاء خماسي منتظم

المقال يوفر طريقة شاملة لبناء خماسي منتظم، بدءًا من استخدام الحساب المثلثي والعلاقات العقدية وصولاً إلى بناء الشكل الفعلي باستخدام أدوات هندسية مثل البركار.

المكتسبات القبلية

• الحساب المثلثي والدائرة المثلثية
• الأعداد العقدية
• الشكل الأسي لعدد عقدي
• صيغة أوير $2\cos x =e^{ix}+e^{-ix}$
• مجموع حدود متوالية لمتتالية هندسية

تعريف

الخماسي المنتظم (Regular Pentagon) هو مضلع من خمسة أضلاع متقايسة في الطول وزوياه الداخلية متقايسة

طريقة الإنشاء

سنعتمد على الدائرة المثلثية ،

لنقسم محيط الدائرة على خمس قطع متقايسة

طول كل قطعة منها $\dfrac{2\pi}5$ تم ننشئ لنقط التي أفاصيلها المنحنية على الدائرة المثلثية هي

لنحدد قيمة $\cos\left(\dfrac{2\pi}5\right)$ و $\cos\left(\dfrac{4\pi}5\right)$

نضع : $x_1=\cos\left(\dfrac{2\pi}5\right)$ و $x_2=\cos\left(\dfrac{4\pi}5\right)$

لنبحث عن حدودية من الدرجة التانية بحيث $x_1$ و $x_2$ هما جدورها

ادا وضعنا $Z=e^{\frac{2i\pi}5}$ فإنه لدينا :

$1+Z+Z^2+Z^3+Z^4=\dfrac{1-Z^5}{1-Z}=0$

ومنه :

$1+e^{\frac{2i\pi}5}+e^{\frac{4i\pi}5}+e^{\frac{6i\pi}5}+e^{\frac{8i\pi}5}=0$

لدينا :

• $e^{\frac{6i\pi}5}=e^{\frac{10i\pi}5-\frac{4i\pi}5}=e^{2i\pi}e^{\frac{-4i\pi}5}=e^{\frac{-4i\pi}5}$

• $e^{\frac{8i\pi}5}=e^{\frac{10i\pi}5-\frac{2i\pi}5}=e^{2i\pi}e^{\frac{-2i\pi}5}=e^{\frac{-2i\pi}5}$

ومنه :

$1+e^{\frac{2i\pi}5}+e^{\frac{4i\pi}5}+e^{\frac{-4i\pi}5}+e^{\frac{-2i\pi}5}=0$

$1+e^{\frac{2i\pi}5}+e^{\frac{-2i\pi}5}+e^{\frac{4i\pi}5}+e^{\frac{-4i\pi}5}=0$

نعلم أن : $2\cos x=e^{ix}+e^{-ix}$

إدن :

$1+2\cos\left(\dfrac{2\pi}5\right)+2\cos\left(\dfrac{4\pi}5\right)=0$

$1+2x_1+2x_2=0$

ومنه : $x_1+x_2=-\frac12$

لنحدد $x_1x_2$

$x_1x_2=\cos\left(\dfrac{2\pi}5\right)\cos\left(\dfrac{4\pi}5\right)$

حسب العلاقة :

$\cos p \cos q =\dfrac12\left(\cos(p+q)+cos(p-q)\right)$

نستنتج أن :

$x_1x_2=\dfrac12\left(\cos\left(\dfrac{6\pi}5\right)+\cos\left(\dfrac{-2\pi}5\right)\right)$

$x_1x_2=\dfrac12\left(x_1+x_2\right)=-\dfrac14$

إدن $x_1$ و $x_2$ هما جدرا الحدودية : $x^2+\dfrac12x-\dfrac14$

وهما جدرا الحدودية : $4x^2+2x-1$

لنبحث عن قيمة $x_1$ و $x_2$ (يمكن الإعتماد على التطبيق حل معادلة من الدرجة 2)

$\Delta=b^2-4ac=(2)^2-4\times4\times(-1)=20$

$x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ و $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$

$x_1=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}$ و $x_2=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{4}$

لدينا $\frac\pi2 < \frac{4\pi}5 < \pi$

ومنه : $\cos\frac{4\pi}5<0$

إدن :

$\cos\left(\dfrac{2\pi}5\right)=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}$ و $\cos\left(\dfrac{4\pi}5\right)=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{4}$

إنشاء خماسي منتظم

ليكن $(O,\vec{u},\vec{v})$ معلم متعامد ممنظم

نعتبر النقط $A_k$ ($0\le k \le 4$) النقط التي أفاصيلها المنحنية هي $e^{\frac{2ik\pi}5}$

لتكن $(C)$ الدائرة التي مركزها $O$ وشعاعها 1

لننشئ النقط $O'(-\frac14,0)$ و $B(0,\frac12)$

إدن : $O'B=\dfrac{\sqrt5}4$

الدائرة $(C')$ التي مركزها $O'$ و شعاعها $O'B$ تقطع المحور $(O,\vec{u})$ في نقطة $C$

بما أن النقط : $O'$ و $O$ و $C$ نقط مستقيمية فإن :

$O'C=O'O+OC$

لدينا : $O'C=O'B=\dfrac{5}4$ و $OO'=\dfrac14$

إدن : $OC=O'C-OO'=\dfrac{-1+\sqrt5}{4}$

أي أن : $OC=\cos\dfrac{2\pi}5$

انقطة $C$ دات الأفصول الموجب هي المسقط العمودي للنقطة $A_1$ على المحور $(O,\vec{u})$

أما بالنسبة للنقط $A_2$ و $A_3$ و $A_4$ يكفي استعمال البركار (أخد المسافة $A_0A_1$)