Étude de Suite :

$$u_{n+1} = a u_n + b$$

1. Point Fixe & Intention de l'Encadrement

L'équation de point fixe $\ell = a\ell + b$ donne : $\ell = \frac{b}{1 - a} = \frac{3}{1 - 0.5} = 6$.

Puisque $u_0 = 2$ et $\alpha = 6$, nous allons démontrer par récurrence que pour tout $n \in \N$ : $u_n < 6$.

2. Démonstration par Récurrence (Encadrement)

Soit la proposition $\mathcal{P}(n) :$ "$u_n < 6$"

• Initialisation : Pour $n = 0$, $u_0 = 2$. On constate bien que $2 < 6$. Donc $\mathcal{P}(0)$ est vraie.
• Hérédité : Supposons que $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour un certain $n \in \N$ fixé (c'est-à-dire $u_n < 6$), et montrons que $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie ($u_{n+1} < 6$).
  On a d'après l'hypothèse : $u_n < 6$
  Multiplions par $a$ ($a = 0.5$) :
  $0.5 \times u_n < 0.5 \times 6$ (le signe change si $a$ est négatif)
  Ajoutons $b$ ($b = 3$) :
  $0.5u_n + 3 < 0.5 \times 6 + 3 \implies u_{n+1} < 6$

Conclusion : Par récurrence, pour tout $n \in \N$, $u_n < 6$.

3. Étude de la Monotonie

Calculons la différence $u_{n+1} - u_n$ :

Puisque nous savons que $u_n < 6$, déterminons le signe de cette expression :
D'après le premier terme $u_1 - u_0 = 2$.
Le signe étant constant grâce à l'encadrement, la suite est strictement croissante.

4. Suite Auxiliaire Géométrique

On introduit la suite auxiliaire définie par : $v_n = u_n - 6$

Montrons que $v_n$ est une suite géométrique :

Par conséquent, $v_n$ est une suite géométrique de raison $q = 0.5$ et de premier terme
$v_0 = u_0 - 6 = 2 - 6 = -4$.

Expression en fonction de $n$ :

• $v_n = v_0 \times q^n = -4 \times (0.5)^n$
• Puisque $u_n = v_n + \\alpha$, on en déduit : $u_n = -4 \times (0.5)^n + 6$